Konstruktion einer linearen Abbildung mit gegebenen Eigenwerte und zugehörigen Eigenvektoren/Eigenräume

Question

Aufgabe:

Gegeben sei eine Matrix \( A \in \mathbb{C}^{3,3} \), von der folgendes bekannt sei:

\( A\left[\begin{array}{rrr} -1 & 2 & -2 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & -1 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{rrr} 2 & -4 & -6 \\ 0 & -2 & 9 \\ 0 & 0 & -3 \end{array}\right] \)

a) Bestimmen Sie alle Eigenwerte von \( A \) und die dazugehörigen Eigenräume.

b) Begründen Sie, dass \( A \) diagonalisierbar ist und geben Sie eine invertierbare Matrix \( S \in \mathbb{C}^{3,3} \) sowie eine Diagonalmatrix \( D \in \mathbb{C}^{3,3} \) an, so dass gilt \( A=S D S^{-1} \).

c) Berechnen Sie \( e^{A} \).

Answer 1

Hi,
die Gleichung kann man schreiben als $$ A\cdot B = C $$ mit \( B = \begin{pmatrix}  -1 & 2 & -2 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} = \)  und
\( C = \begin{pmatrix}  2 & -4 & -6 \\ 0 & -2 & 9 \\ 0 & 0 & -3 \end{pmatrix} \)
Die Matrix \( B \) ist als obere Dreiecksmatrix mit ausschließlich \( \ne 0 \) Diagonalelementen invertierbar, denn die Determinate ist als Produkt der Diagonalelement \( (-1)\cdot1\cdot (-1) = 1 \ne 0 \)
daraus ergibt sich \( A = C \cdot B^{-1}  = \begin{pmatrix}  -2 & 0 & 10 \\ 0 & -2 & -15 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \)
Die Eigenwerte von \( A \) sind die Diagonalelemente der Matrix \( A \) also \( \lambda = \begin{pmatrix} -2\\ -2\\3 \end{pmatrix} \) Damit ergibt sich die Diagonalmatrix zu \( D =S^{-1}\cdot A \cdot S = \begin{pmatrix}  -2 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \)
Die Eigenvektoren ergeben sich zu \( S = \begin{pmatrix}  1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)
Die Eigenvektoren sind linear unabhängig, da die Determinate \( \ne 0 \) ist. Die Matrix ist \( S \) die gesuchte Matrix für die gilt \( A = S \cdot D \cdot S^{-1} \)

Die gesuchte Expotentialmatrix ergibt sich zu
$$ e^A = S \cdot e^D \cdot S^{-1} = \begin{pmatrix}  e^{-2} & 0 & 2e^3-2e^{-2} \\ 0 & e^{-2} & 3e^{-2}-3e^3 \\ 0 & 0 & e^3 \end{pmatrix}  $$

Comments

vielen dank für die antwort=)

ich hätte da noch fragen, was sind die dazugehörigen eigenräume und wie bist du auf S gekommen?

---

B^-1 =   -1   2   8

0   1    3

0    0   -1

dann hab ich es mit C multipliziert ich hab auch das gleiche raus, A ist auch bei mir

A= -2    0   10

0     -2    -15

0      0     3

=)