Konstruktion einer linearen Abbildung mit gegebenen Eigenwerten, zugehörigen Eigenvektoren bzw. Eigenräumen

Question

Aufgabe:

Gegeben seien der Vektorraum \( V \) der reellen rechten unteren Dreiecksmatrizen

\( V=\left\{\left[\begin{array}{cc} a_{1} & 0 \\ a_{2} & a_{3} \end{array}\right] \in \mathbb{R}^{2 \times 2} \mid a_{1}, a_{2}, a_{3} \in \mathbb{R}\right\} \)

die lineare Abbildung \( L: V \rightarrow V \), sowie die folgenden Bilder von \( L \) :

\( L\left(\left[\begin{array}{rr} 2 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{rr} 4 & 0 \\ 0 & -2 \end{array}\right], L\left(\left[\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ -3 & 0 \end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{rr} -1 & 0 \\ 3 & 0 \end{array}\right], L\left(\left[\begin{array}{rr} 0 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{rr} -3 & 0 \\ 9 & 0 \end{array}\right] \)

a) Bestimmen Sie alle Eigenwerte und die zugehörigen Eigenräume der linearen Abbildung L.

Hinweis: Sie können diesen Teil durch scharfes Hinsehen und geschicktes Argumentieren lösen! Gelingt Ihnen dies nicht, so bearbeiten Sie zunächst die Aufgabenteile b) - d).

b) Bestimmen Sie die darstellende Matrix \( L_{\mathcal{B}} \) von \( L \) bzgl. der Basis

\( \mathcal{B}=\left\{\left[\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ -3 & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{rr} 0 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{rr} 2 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right]\right\} \)

c) Bestimmen Sie das charakteristische Polynom von \( L \).

d) Ist \( L \) eine injektive/surjektive/bijektive Abbildung?

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Eigenwerte/Eigenräume der linearen Abbildung

Stichworte: eigenwerte,abbildung,matrix,eigenraum

Und hier meine Lösung zu Aufgabe a:

Aufgabe a)

Die Eigenwerte \( \lambda_{1}=2 \) und \( \lambda_{2}=-1 \) können direkt aus der Abbildung abgelesen werden, da es sich beim Bild des Vektors um den selben Vektor, skaliert mit \( \lambda_{1} \) bzw, \( \lambda_{2} \) handelt. Beim dritten Bild erkennen wir, dass
\( 2 \cdot L\left(\left[\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{array}\right]\right)+L\left(\left[\begin{array}{rr} 0 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right] \)

Da \( L \) linear ist, muss also für alle \( \alpha \in \mathbb{R} \) auch gelten:

\( L\left(2 \alpha\left[\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{array}\right]+\alpha\left[\begin{array}{rr} 0 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right] \)

Wir haben also den dritten Eigenwert mit \( \lambda_{3}=0 \) bestimmt. Da \( \operatorname{dim}(V)=3 \) kann jeder der drei EW nur eine geometrische VFH \( =1 \) haben. Es ist also:

\( \begin{array}{l} E R_{1}=\operatorname{span}\left(\left[\begin{array}{rr} 2 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right]\right) \text { bzgl. } \lambda_{1}=2 \\ E R_{2}=\operatorname{span}\left(\left[\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ -3 & 0 \end{array}\right]\right) \text { bzgl. } \lambda_{2}=-1 \\ E R_{3}=\operatorname{span}\left(\left[\begin{array}{rr} 0 & 0 \\ 2 & -1 \end{array}\right]\right) \text { bzgl. } \lambda_{3}=0 \end{array} \)

Ist meine Lösung richtig? Ich bin mir unsicher beim Lösungsweg des 3. Eigenwertes.

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Wenn deine Lineare Abbildung 3 Eigenwerte hätte, so müsste diese eine 3x3 Matrix sein.Dann passt das Abbildungsmenge oder nicht mehr oder vertue ich mich da?

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Die darstellende Matrix dieser linearen Abbildung ist eine 3x3 Matrix, da V dreidimensional ist.

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Da steht doch V ∈R^{2x2}

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Man kann doch auch keine 2x2 Matrix mit einer 3x3 Matrix multiplizieren.

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" Da steht doch V ∈R2x2 "

Nein, und das wäre auch absulter Quark. V ist eine Teilmenge, kein Element.

"Man kann doch auch keine 2x2 Matrix mit einer 3x3 Matrix multiplizieren. "

Tut man hier auch nicht.

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Bis auf die Berechnung des dritten Eigenraums ist deine Lösung mustergültig, und auch dort ist Vorgehen vollkommen richtig nur die Rechnung ist falsch und ich hab ehrlich gesagt keine Ahnung wie du auf diese Gleichheit nach "erkennen wir, dass" kommst.

Um $$L\begin{pmatrix} 0 &0 \\ 1 &0 \end{pmatrix}$$ zu berechnen müsste erstmal die Matrix durch die Basen ausgedrückt werden...

Es ist $$L(3b_2-b_3)=0$$

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Dann verstehe ich den Ausdruck :
V = { a1 0 a2 a3....

nicht.

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V ist der reelle Vektorraum der reellen, unteren Dreiecksmatrizen.

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Was sagt dann die von mir genannte Aussage?

\( V=\left\{\left[\begin{array}{cc}a_{1} & 0 \\ a_{2} & a_{3}\end{array}\right] \in \mathbb{R}^{2 \times 2} \mid a_{1}, a_{2}, a_{3} \in \mathbb{R}\right\} \)

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Das habe ich doch schon beantwortet.:

"V ist der reelle Vektorraum der reellen, unteren Dreiecksmatrizen. "

(und ich seh jetzt sogar, dass das genauso im Fragentext steht)

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Warum sagt das von mir gepostete Latex aus, dass V der Vektorraum der reellen rechten Unteren Dreiecksmatrizzen ist?

Ich verstehe daraus, dass V aus 2x2 Matrizzen besteht,für die

a1 0

a2 a3

gilt ?

Also der rechte Obere Wert = 0 ist.

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Kennst du den Begriff Dreiecksmatrix?

Den Begriff untere Dreiecksmatrix?

(das rechte passt hier in der Tat nicht rein)

Falls nicht: Googel bitte den Begriff.

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Ja . Ich weiß ,was eine untere Bzw. obere Dreiecksmatrix ist.

Aber in dieser Aussage steht doch,dass V aus diesen Matrizen besteht.

Also aus unteren Dreiecksmatrizzen aus dem R^{2x2}.

Wie soll dann V ein Vektorraum der aus dem R^{3x3}

Ich kann aus dem span von Dreiecksmatrizzen des R^{2x2} doch keine Matrix des R^{3x3} erstellen?

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"ch kann aus dem span von Dreiecksmatrizzen des R2x2 doch keine Matrix des R3x3 erstellen? "

Wie bereits gesagt, dass tut hier auch keiner.

V ist dreidimensional. 

L ist eine lineare Abbildung von einem 3-dimensionalen Vektorraum in einen 3-dimensionalen Vektorraum. Also solche hat L eine darstellende 3x3-Matrix.

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Ich verstehe es nicht. Da steht doch, wenn man es wörtlich liest:

V besteht aus 2x2 Matrizen, die untere Dreiecksform haben.

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Letzter Versuch meinerseits, wir drehen uns hier massiv im Kreis 

Die darstellende Matrix der linearen Abbildung L bzgl. der folgenden drei an Basisvektoren von V

$$\begin{pmatrix} 2&0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}   , \begin{pmatrix} 1&0 \\ -3 & 0\end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0&0 \\ 0 & -1\end{pmatrix} $$ ist

$$\begin{pmatrix} 2&0&0 \\ 0 & -1 &0 \\ 0 &-3&0\end{pmatrix} $$

Answer 1

a) wenn die drei Basiselemente b1, b2, b3 heißen, hast du
L(b1)= - b1      also ist schon mal b1 ein Eigenvektor zum Eigenwert -1
L(b2)= -3*b1
L(b3)=2*b3     also ist b3 ein Eigenvektor zum Eigenwert 2

und wegen L(3b1 - b2) = -3b1 - (-3b1) = 0
ist 3b1 - b2 ein Eigenvektor zum Eigenwert 0

bei a) ist schon alles für die Matrix berechnet,
in der i-ten Spalte stehen die Zahlen zur Darstellung
von L(bi) durch die Basis.

Matrix
-1       -3        0
0         0         0
0         0         2
und es ist det( L_B - x*E)   mit E= 3x3 Einheitsmatrix)
das char. Polynom = -x * (x-2)*(x+1) also
Eigenwerte 0 und 2 und -1 (s.0.)

wegen L(3b1 - b2) = -3b1 - (-3b1) = 0 ist    3b1 - b2 im Kern(L) , also
L nicht injektiv und nicht bijektiv.
Auch nicht surjektiv, da dim(v)=3 und dim(Bild(L)) = 3 - dim Kern(L) < 3.

Comments

ich hab das mit eigenvektoren und Eigenwert nicht verstanden,

wie hast  du  den Eigenwert -1, -3 und 2 bestimmt?

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Eigenwerte sind -1    2   und 0.

Ein Eigenwert ist eine Zahl k, zu der es einen Vektor v (ungleich 0) gibt

mit L(v) = k*v. Und hier gilt:

L(b1)= - b1      also ist schon mal b1 ein Eigenvektor zum Eigenwert -1

                           denn das k ist die -1 und b1 ist das v.

Ebenso:   

L(b3)=2*b3     also ist  b3 ein Eigenvektor zum Eigenwert 2

und

und wegen L(3b1 - b2) = -3b1 - (-3b1) = 0
 ist 3b1 - b2 ein Eigenvektor zum Eigenwert 0

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Danke für deine Antwort!

kannst du mir zeigen wie du auf L(b1)= - b1   L(b2)= -3*b1
L(b3)=2*b3    

gekommen bist, bzw. den Rechenweg erklären?

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Ich hab mir die gegebenen Werte angeschaut.

Der erste war ja von der Form L (.... ) =   ......

und das, was bei dem L in der Klammer steht, ist ja

genau die dritte Matrix aus der gegebenen Basis, also b3.

und das angegebene Ergebnis ist genau das Doppelte, also 2*b3.

Und die anderen Basisvektoren kommen eben in den gegebenen

Werten auch vor.

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Kannst du mir noch sagen wie ich in Aufgabenteil a) (Eigenwerte argumentieren kann?
Für das erste Bild müsste ja der Eigenwert 2 sein, da er das Zweifache ist und beim 2. müsste der Eigenwert -1 sein da er gespiegelt ist!
Und bei 3 Eigenwert =0  ???

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a) wie gesagt:

wenn die drei Basiselemente b1, b2, b3 heißen, hast du
L(b1)= - b1      also ist schon mal b1 ein Eigenvektor zum Eigenwert -1
L(b2)= -3*b1
L(b3)=2*b3     also ist  b3 ein Eigenvektor zum Eigenwert 2

und wegen L(3b1 - b2) = -3b1 - (-3b1) = 0
 ist 3b1 - b2 ein Eigenvektor zum Eigenwert 0

Also ist es wie du schon sagtest:

Es gibt es drei Eigenwerte -1, 2 und 0.

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ich verstehe leider immer noch nicht wie du auf  L(b2)= -3*b1 kommst!

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b2 ist ja 

0  0

0  -1

und L(b2) ist in der Aufgabe ( als 3. ) angegeben, das ist

-3 0

9  0

und das ist genau das gleiche wie    - 3*b1

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könnte ich das in der Klausur genauso aufschreiben wie du es oben geschrieben hast, oder muss ich noch die eigenvektoren ausrechen?

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wenn du so eine Gleichung wie L(b3) = 2*b3 durch "scharfes Hinsehen" erkennen kannst.

Hast du ja nicht nur den Eigenwert 2 sondern auch sofort einen Eigenvektor,

nämlich b3. Kannst also völlig korrekt notieren:

  also ist  b3 ein Eigenvektor zum Eigenwert 2