Bestimmen Sie alle Eigenwerte und die zugehörigen Eigenvektoren

Question

Sei \( \psi : \mathbb{C}^{2} \rightarrow \mathbb{C}^{2} \) ein Endomorphismus, definiert durch \( \psi(v)=A \cdot v \) für \( v \in \mathbb{C}^{2} \), wobei

\( A=\left[\begin{array}{cc} a & -b \\ b & a \end{array}\right] \in \mathbb{C}^{2 \times 2}, \quad a, b \in \mathbb{R} . \)

Bestimmen Sie alle Eigenwerte und die zugehörigen Eigenvektoren von \( \psi \). Entscheiden Sie außerdem, ob \( \psi \) diagonalisierbar ist.

Answer 1

det(A-x*E)=0 hat in ℂ die Lösungen x=a±bi für (a,b)≠(0,0).

Für a+bi ist dann etwa \(  \begin{pmatrix} i\\1 \end{pmatrix} \) ein Eigenvektor.

Und für a-bi ist  \(  \begin{pmatrix} -i\\1 \end{pmatrix} \) einer.

Diagonalisierbar gemäß

\(  \begin{pmatrix} i&-i\\1&1 \end{pmatrix} ^{-1}\cdot \begin{pmatrix} a&-b\\b&a \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} i&-i\\1&1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a+bi & 0\\0&a-bi \end{pmatrix} \)