Näherungswert berechnen und Lagrange Restglied abschätzen

Question

Aufgabe:

Es sei \( f:(-1, \infty) \rightarrow \mathbb{R} \) mit \( f: x \mapsto \sqrt[4]{1+x} \)
(i) Bestimmen Sie das Taylor-Polynom vom Grad 2 zu \( f \) in \( x_{0}=0 \).
(ii) Berechnen Sie einen Näherungswert von \( \sqrt[4]{\frac{3}{2}} \) indem sie das Taylor-Polynom an einer geeigneten Stelle auswerten und zeigen Sie, dass
\( \left|\sqrt[4]{\frac{3}{2}}-\frac{141}{128}\right|<\frac{7}{1024} \)
gilt, indem Sie das Lagrange-Restglied geeignet abschätzen.
Hinweis: Das Lagrange-Restglied ist gegeben als
\( R_{m+1}^{x_{0}}(f)(x)=f^{(m+1)}(\xi) \frac{\left(x-x_{0}\right)^{m+1}}{(m+1) !} \text { für ein } \xi \in I_{x_{0}, x} \)

Problem/Ansatz:

Kann mir Jemand bitte die (ii) für Dumme erklären? Ich habe mir schon Videos zu dem Lagrange-Restglied angeguckt, habe jedoch kaum verstanden was ich damit anfangen soll.

Answer 1

Hallo,

es ist \( T_{2,0}(x) = 1+ \frac14x-\frac3{32}x^2 \) (das hättest du ruhig dazu schreiben können).

Weiter haben wir \(f^{(3)}(x) = \frac{21}{64(x+1)^{\frac{11}{4}}} \) und \(T_{2,0}(\frac12) = \frac{141}{128}\).

Nach dem Satz von Taylor existiert also ein \( \xi\in(0,\frac12) \), sodass

\( \left|f(\frac12) -T_{2,0}(\frac12)\right| = \left|f^{(3)}(\xi)\cdot\frac16\cdot(\frac12)^3\right| = \frac1{48}\cdot \left|\frac{21}{64(\xi+1)^{\frac{11}{4}}}\right| = \frac7{1024} \cdot \underbrace{\left|\frac1{(\xi +1)^{\frac{11}{4}}}\right|}_{\leq 1,\text{da}\,\xi\in(0,\frac12)} \leq \frac7{1024}\), d.h.

\( \left|\sqrt[4]{\frac32}-\frac{141}{128}\right| \leq\frac7{1024}\)

Answer 2

Es ist das Taylorpolynom an der Stelle 0,5 gleich \(  \frac{141}{128} \)

und \( \sqrt[4]{\frac{3}{2}} \) ist ja gleich f(0,5).

Also hast du \( \left|\sqrt[4]{\frac{3}{2}}-\frac{141}{128}\right|= | R_{3}^{0,5}(f)(x) | \)

Und das wäre jetzt abzuschätzen.