Bestimme die Funktionsgleichung (Normal- und Scheitelpunktform) von f anhand der angegebenen Informationen:

Question

Aufgabe:

Bestimme die Funktionsgleichung (Normal- und Scheitelpunktform) von f anhand der angegebenen Information:

a) Der Graph von f hat den y-Achsenabschnitt bei 4 und den Scheitelpunkt bei (1/2 / 4 1/4)

Problem/Ansatz:

f = 4 y-Achsenabschnitt

1/2 = 0,5  wäre x auf dem Koordinatensystem

4 1/4 = 4,25 wäre y auf dem Koordinatensystem

Ich hoffe das mein Ansatz richtig ist.

Answer 1

Hallo,

die allgemeine Scheitelpunktform lautet \(y=a(x-d)^2+e\) mit den Koordinaten des Scheitelpunktes S (d | e)

Setze die Koordinaten in die Gleichung ein

\(y=a(x-0,5)^2+4,25\)

Um a zu bestimmen, setzt du die Koordinaten des bekannten Punktes (0 | 4) ein und löst nach a auf.

\(4=a(0-0,5)^2+4,25\)

Damit hast du die Scheitelpunktform der Gleichung. Die Normalform erhältst du durch Ausmultiplizieren.

Gruß, Silvia

Zur Kontrolle

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\(4=a(0-0,5)^2+4,25\\ 4=0,25a+4,25\\ -1=a\\ \text{Scheitelpunktform der Gleichung}\\ y=-(x-0,5)^2+4,25\\ \text{Normalform}\\ y=-(x^2-x+0,25)+4,25\\ y=-x^2+x-0,25+4,25\\y=-x^2+x+4\)

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Answer 2

ich nehme an, dass es sich um eine quadratische Funktion handelt.

Gesucht ist eine Funktion vom Typ f(x)=ax²+bx+c. Da die Funktion die y-Achse bei 4 schneidet ist c=4. x ist ja im Schnittpunkt 0. f(x)=ax²+bx+4

Und die Werte vom Scheitelpunkt eingesetzt ergibt 4,25=a·0,5²+b·0,5+4.

Die Ableitung ergibt die Steigung. Sie ist f'(x)=2ax+b. im Scheitelpunkt ist die Steigung 0 und der x-Wert ist 0,5. Damit haben wir als zweit Gleichung 0=2·a·0,5+b.

Jetzt hast du die beiden roten Gleichungen. Zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten. Das rechnest du bitte nach. Es ergibt sich a=-1 und b=1.

also f(x)=-x²+x+4

Solltest du noch keine Ableitungen durchgenommen haben, bitte melden.

Comments

die Erklärung ohne Ableitung schiebe ich gerade nach.

Neben der Ausdrucksweise f(x)=ax²+bx+c gibt es auch die Möglichkeite das als

f(x)=d·(x+e)²+f darzustellen.

Zu d:

Hiermit wird definiert, ob die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist und ob sie gestauch oder gestreckt ist. Positives d ⇒ nach oben geöffnet, negatives d ⇒ nach unten geöffnet. Wenn D absolut größer als 1 ist, ist die Parabel gestreckt.

Zu e:

e bestimmt, wie die Parabel nach links oder rechts verschoben ist. Beispielweise würde e=-3 bedeuten, dass der Scheitelpunkt bei x=+3 ist. e=4 bedeutet, Scheitelpunkt bei x=-4.

Zu f:

f ist der y-Wert des Scheitepunktes.

Kommen wir zur Aufgabe. Mit der Erklärung für e und f erhalten wir

f(x)=d·(x-0,5)²+4,25. Da der Scheitelpunkt bei y=4,25 liegt und der Schnittpunkt mit der y-Achse bei 4, muss die Parabel nach unten geöffnet sein, d ist also negativ. Zum Schluss schauen wir, ob die Parabel gestreckt oder gestaucht ist. Eine Normalparabel ist weder gestreckt noch gestaucht und hat folgene Werte: Ausgehend vom Scheitelpunkt. Ändert sich

y um 1  wenn x sich um 1 ändert

y um 4  wenn x sich um 2 ändert

y um 9  wenn x sich um 3 ändert, aber auch

y um 0,25  wenn x sich um 0,5 ändert. Und genau das ist hier der Fall

Damit haben wir hier eine Normalparabel, d hat den absoluten Wert 1.

Ergebnis: f(x)=-1·(x-0,5)²+4,25 oder auch f(x)=-(x-0,5)²+4,25

Ausgeklammer bekommst du wieder die Funktion aus meine Antwort.