Numerik Fehler berechnen Quadraturformel

Question

(iii) Berechnen Sie den Fehler

\( I\left(g_{1, t}\right)-I_{1}\left(g_{1, t}\right) \)

für

\( g_{1, t}(x)=\left\{\begin{array}{lll} 0 & \text { für } & 0 \leq x \leq t \\ 1 & \text { für } & t<x \leq 1 \end{array}\right. \)

mit \( t \in[0,1] \)

Hallo zusammen und zwar habe ich folgende Aufgabestellung gegeben iii) Ich habe zwar die Lösung dazu aber weiß überhaupt nicht wie man das berechnet. Die Lösung ist mir zu kurz und unverständlich. Kann mir jemand genau erklären wie man diesen Fehler berechnen kann und ob es eventuell Literaturen oder weitere Aufgaben die ähnlich sind gibt.

Comments

Müsste man dazu nicht wissen, was I(f) ist und auch I_1(f)?

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Text erkannt:

Uebung11-Loesung-1 (1)
Vebung11-Loesung-1 (1)
Aufgabe \( 11.3 \) [Quadratur und Peano / alte Klausuraufgabe] Sei \( f \in C([0,1]) \). Betrachten Sie die Quadraturformel
\( I_{1}(f)=f(0) \)
für das Integral
\( I(f)=\int \limits_{0}^{1} f(x) d x \)
3

Answer 1

Du musst nur die Funktion \(g_{1,t}\) in \(I\) und \(I_1\) einsetzen, ausrechnen und dann die gewünschte Differenz bilden.

$$I\left(g_{1,\color{blue}{t}}\right) =\int_0^1 g_{1,\color{blue}{t}}(x) \;dx = \int_0^{\color{blue}{t}} 0 \;dx + \int_{\color{blue}{t}}^{1} 1 \;dx = 1-t$$$$I_1\left(g_{1,t}\right) = g_{1,t}(0) = 0$$$$\Rightarrow I\left(g_{1,}\right) - I_1\left(g_{1,t}\right) = 1-t -0 = 1-t$$