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Numerik - relativer Fehler erster Ordnung abschätzen
Um die gegebene Aufgabe zu lösen, betrachten wir den funktionalen Zusammenhang:
\(y=f(x_1, ..., x_m) := \frac{c(x_1 \cdot ... \cdot x_r)}{(x_{r+1} \cdot ... \cdot x_m)}\)
und wollen zeigen, dass der relative Fehler \(\frac{\Delta y}{y}\) bei Störungen in erster Ordnung wie folgt abschätzbar ist:
\(\frac{\Delta y}{y} \leq \sum_{i=1}^{m} \frac{\Delta x_i}{x_i}\)
Vorgehensweise:
1. Wir betrachten zunächst die Änderung \(\Delta y\) von \(y\) durch geringfügige Änderungen \(\Delta x_i\) in jeder der Variablen \(x_i\).
2. Dann leiten wir \(y\) partiell nach jeder der Variablen \(x_i\) ab, um den Effekt einer kleinen Änderung in \(x_i\) auf \(y\) zu messen.
3. Danach drücken wir den relativen Fehler von \(y\) aus.
4. Zum Schluss summieren wir die relativen Fehler der \(x_i\) auf, um die angegebene Ungleichung zu erreichen.
Schritt 1: Definition des relativen Fehlers
Der relative Fehler von \(y\) ist definiert als \(\frac{\Delta y}{y}\), und der relative Fehler von \(x_i\) als \(\frac{\Delta x_i}{x_i}\).
Schritt 2: Partielle Ableitungen
Die partielle Ableitung von \(y\) nach \(x_i\) für \(i \leq r\) (im Zähler) ist:
\(
\frac{\partial y}{\partial x_i} = \frac{c \cdot x_1 \cdot ... \cdot x_{i-1} \cdot x_{i+1} \cdot ... \cdot x_r}{x_{r+1} \cdot ... \cdot x_m}
\)
Für \(i > r\) (im Nenner) ist:
\(
\frac{\partial y}{\partial x_i} = -\frac{c \cdot (x_1 \cdot ... \cdot x_r)}{(x_{r+1} \cdot ... \cdot x_{i-1} \cdot x_{i+1} \cdot ... \cdot x_m)^2}
\)
Schritt 3: Relative Fehler
Nun nutzen wir die lineare Approximation, um den relativen Fehler durch die partiellen Ableitungen auszudrücken:
\(
\Delta y \approx \sum_{i=1}^m \frac{\partial y}{\partial x_i} \Delta x_i
\)
Teilt man beide Seiten durch \(y\), erhält man:
\(
\frac{\Delta y}{y} \approx \sum_{i=1}^m \frac{\partial y}{\partial x_i} \frac{\Delta x_i}{y}
\)
Da \(y = \frac{c(x_1 \cdot ... \cdot x_r)}{(x_{r+1} \cdot ... \cdot x_m)}\), können die partiellen Ableitungen entsprechend durch \(y\) ausgedrückt werden, was zu folgendem führt:
\(
\frac{\Delta y}{y} \approx \sum_{i=1}^r \frac{\Delta x_i}{x_i} - \sum_{i=r+1}^m \frac{\Delta x_i}{x_i}
\)
Beachten Sie, dass die negative Änderung für \(i > r\) durch die Struktur der Funktion kommt und wir davon ausgehen, dass \(\Delta x_i \) so klein ist, dass das Vorzeichen des gesamten Terms positiv bleibt.
Schritt 4: Zusammenfassung
Da die Abschätzung den Betrag des relativen Fehlers betrachten sollte, wird die Ungleichung:
\(
\left| \frac{\Delta y}{y} \right| \leq \sum_{i=1}^m \left| \frac{\Delta x_i}{x_i} \right|
\)
gegeben, welche zeigt, dass der relative Fehler von \(y\) in erster Ordnung durch die Summe der relativen Fehler der \(x_i\) abschätzbar ist.
Diese Ableitung stellt eine vereinfachte Behandlung dar, die unter Annahme kleiner \(\Delta x_i\) und somit einer linearen Näherung steht. In der Praxis ist es wichtig, die Größe der \(\Delta x_i\) zu überprüfen, um sicherzustellen, dass die lineare Näherung angemessen ist.
