Eigenvektoren berechnen/Eigenräume berechnen

Question

! Ich habe eine Matrix A=

1	0	4
3	2	3
0	0	2

 von der ich bereits das charakteristische Polynom (λ³-5λ²+8λ-4) berechnet habe. Die Eigenwerte fand ich mit Hilfe der Polynomdivision und der Mitternachtsformel heraus: 1, 2, 2. Um den Eigenraum darzustellen, benötigte ich die Eigenvektoren. Das ist allerdings mein Problem. Ich weiß prinzipiell, was ich zu tun habe, komme aber auf Biegen und Brechen nicht auf die gesuchten Eigenvektoren (für λ=1 (-1,3,0) und zweimal für λ=2 (0,1,0). Um die Eigenvektoren zu berechnen muss ich meines Wissens nach einfach A*λE berechnen. Dann erhalte ich ein Gleichungssystem:

0	0	4	0
3	1	3	0
0	0	1	0

Jetzt komme ich allerdings nicht weiter. Danke vorab für die Hilfe!

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...  von der ich bereits das charakteristische Polynom (λ³-5λ²+8λ-4) berechnet habe.

Das charakteristische Polynom von $$A = \begin{pmatrix}0& 0& 4\\ 3& 1& 3\\ 0& 0& 1\end{pmatrix}$$ist$$-\lambda(1-\lambda)^2$$mit den Eigenwerten \(0\) und \(1\).

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Also muss ich für die Eigenwerte das Charakteristische Polynom der Matrix berechnen, wovon ich die Eigenwerte subtrahiert habe? Und nicht wie fälschlich von mir angenommen von der gegebenen Matrix A?

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Have mich bei der Matrix A geirrt. Jetzt steht dort die richtige Matrix und das passende Polynom stimmt auch :)

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Nein - das geht ja gar nicht, da zu diesem Zeitpunkt die Eigenwerte unbekannt sind. Die Eigenwerte resultieren natürlich aus dem charakteristischen Polynom der Matrix \(A\). In voller Schönheit:$$\det \begin{pmatrix}0-\lambda & 0& 4\\ 3& 1-\lambda& 3\\ 0& 0& 1-\lambda\end{pmatrix} \\ \space = -\lambda(1-\lambda)^2 + 0\cdot 3\cdot 0 + 4\cdot 3\cdot 0 \\ \quad - (-\lambda) \cdot 3 \cdot 0 - 0\cdot 3 \cdot (1-\lambda) - 4\cdot (1-\lambda) \cdot 0 \\ \space = -\lambda(1-\lambda)^2$$

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Jetzt bin ich ein wenig verwirrt. Die ursprüngliche Matrix ist die oben angegebene. Das dazu passende Polynom und die Eigenwerte sind λ³-5λ²+8λ-4 mit den Eigenwerten: 1, 2, 2. Um die Eigenvektoren zu bestimmen muss ich doch einen Eigenwert in A*λE einsetzen. Dann erhalte ich für λ=1

1-λ	0	4
3	2-λ	3
0	0	2

Muss dies nicht gleich Null gesetzt werden um mit dem LGS die Eigenvektoren zu bestimmen?

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Muss dies nicht gleich Null gesetzt werden um mit dem LGS die Eigenvektoren zu bestimmen?

Ja - gleich dem Null-Vektor. Setze für \(\lambda\) \(1\) bzw. \(2\) ein, und berechne dieLösungsmenge. (s. meine Antwort)

Answer 1

Hallo Johannes,

mit den Eigenvektor \(1\) steht die Lösung doch schon da:$$A - (1) \cdot E = \begin{pmatrix}0& 0& 4\\ 3& 1& 3\\ 0& 0& 1\end{pmatrix} = \underline 0$$ Aus der ersten Zeile folgt \(4z=0 \implies z=0\) und anschließend aus der zweiten \(3x+y=0\). D,h, die Lösung ist hier $$e_1= \begin{pmatrix}-1 \\ 3 \\ 0\end{pmatrix}$$Für den(die) Eigenwert(e) \(2\) ergibt sich$$A - (2) \cdot E = \begin{pmatrix}-1& 0& 4\\ 3& 0& 3\\ 0& 0& 0\end{pmatrix} = \underline 0$$Mit etwas Erfahrung 'sieht' man \(e_{2,3}= (0|1|0)\) - oder eben die beiden Gleichungen $$\begin{aligned} -x + 4z & = 0 \\ 3x + 3z &= 0\end{aligned}$$mit der Triviallösung \(x=0, \space z=0\) und \(y\) kann jeden beliebigen Wert \(\ne 0\) annehmen.

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Tolle, ausführliche Erklärung und prinzipiell erschließt sich das mir jetzt! Ich habe lediglich ein Brett vorm Kopf, wenn ich aus z=0, 3x+y=0 den entsprechenden Vektor bilden soll. Für mich ergibt es gerade mehr Sinn, dass der Vektor (3,1,0) ist und nicht (-1,3,0). Könntest du mir den Schritt für ganz Dumme noch einmal erklären?

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Das Gleichungssytem ist$$\begin{aligned} 4z &= 0 \\ 3x+y+3z &= 0\end{aligned}$$Das daraus \(z=0\) folgt, ist jetzt nicht schwer. Einsetzen in die zweite Gleichung gibt$$3x+y=0$$Nun ist jedes Paar \((x,\,y)\) eine verwertbare Lösung, das diese Gleichung erfüllt (außer (0|0)). Man kann die Gleichung z.B. umstellen$$y=-3x$$ und dann für \(x\) einen Wert \(\ne0\) einsetzen; z.B.: \(x=1\) - macht $$e_1 = \begin{pmatrix} 1\\-3 \cdot 1 \\ 0 \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix} 1\\-3 \\ 0\end{pmatrix} $$was genauso eine Lösung ist wie \((-1|3|0)\).

Oder (Tipp!) man stellt sich \(3x+y=0\) als Normalform einer Geraden in der Ebene vor:$$\begin{pmatrix} 3\\1 \end{pmatrix}x = 0$$Dann steht der Vektor \((3|1)\) senkrecht auf dieser Geraden. Wir suchen aber die Richtung, in der die Gerade zeigt, also muss der gesuchte (Eigen)Vektor orthogonal zu \((3|1)\) stehen.

Das erreicht man in 2D durch Vertauschen der Koordinaten und negieren einer der Koordinaten.

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Wunderbar! Vielen Dank! Jetzt hab ich es verstanden!

Answer 2

Wie lautet denn jetzt die fragliche Matrix?

Bei

\(A \, :=  \, \left(\begin{array}{rrr}1&0&4\\3&2&3\\0&0&2\\\end{array}\right)\)

\(Eigenwerte \, :=  \,  \left\{ 1, 2 \right\} \)

\(DimEigenraum \, :=  \,  \left\{ 1, 1 \right\} \)

d.h. es muss eine Hauptvektorsuche angehängt werden, um den Eigenraum angeben zu können. Damit komme ich auf

\(T \, :=  \, \left(\begin{array}{rrr}-\frac{1}{3}&0&4\\1&15&0\\0&0&1\\\end{array}\right)\)

D:=T^(-1) A T 

\(D \, :=  \, \left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&2&1\\0&0&2\\\end{array}\right)\)