Darstellungsmatrix, Eigenwerte und Eigenräume bestimmen

Question

Aufgabe:

$$Sei   ϕ   : R^{3} → R^{3}  gegeben durch (x, y, z)^t -> (-x - \frac{5}{2}y - \frac{1}{2}z, -2x -\frac{1}{2}y + \frac{1}{2}z, 2x+\frac{5}{2}y+\frac{3}{2}z)^t$$

(a) Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix für  ϕ bezüglich der kanonischen Basis ¨
sowie das zugehörige charakteristische Polynom.
(b) Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenräume von ϕ.

(c) Bestimmen Sie alle Fixpunkte von ϕ, d.h. alle v ∈ R^3 mit ϕ(v) = v

Problem/Ansatz:

Answer 1

(a) Darstellende Matrix:

\( \begin{pmatrix} -1 & -\frac{5}{2} & -\frac{1}{2} \\ -2 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 2 & \frac{5}{2} & \frac{3}{2} \end{pmatrix} \)

(b) Berechnen die Determinante um das charakteristische Polynom zu erhalten :

 det (\begin{pmatrix} -1 - \lambda & -\frac{5}{2} & -\frac{1}{2} \\ -2 & -\frac{1}{2} - \lambda & \frac{1}{2} \\ 2 & \frac{5}{2} & \frac{3}{2} \lambda \end{pmatrix} )  = \( - \lambda ^3 + 7 \lambda -6 \)

Das setzt du dann gleich 0:

\( - \lambda ^3 + 7 \lambda -6 \) = 0

\( \lambda _1 = 1 , \lambda_2= 2 , \lambda_3 = -3 \)

Setze jedes Lambda in die Matrix ein. Also einmal auf der Diagonalen für \( \lambda  \) einfach nur \( \lambda _1 \) . Diese Matrix dann gleich 0 und somit erhältst du den Eigenvektor für \( \lambda _1 \).

 Dies machst du dann nochmal mit jedem anderen  \( \lambda \)