Aufgabe zu Eigenwerte und Eigenräume

Question

Hallo,

Ich komme bei dieser Aufgabe einfach nicht weiter und bräuchte somit Hilfe;

Sei A ∈ M(n, ℂ) und λ ein Eigenwert mit zugehörigem Eigenraum E_λ ⊂ ℂⁿ . 

Zu Zeigen:
a) λ ist ein Eigenwert von A^T mit Vielfachheiten a_AT (λ) = a_A(λ) und g_AT (λ) = g_A(λ)

b) Sei A regulär, dann ist λ ≠ 0 und λ⁻¹ Eigenwert zu A⁻¹. Finde den zugehörigen
Eigenraum dazu.

Answer 1

a) Es ist \(\det A = \det A^T\)

b) Ist \(A\) regulär, dann ist \(\ker A = \{0\}\) und somit gilt

        \(v\neq 0 \implies Av\neq 0\cdot v\) für alle \(v\in \mathbb{C}^n\).

Außerdem gilt

        \(\begin{aligned} &  & Av & =\lambda v\\ & \iff & A^{-1}Av & =A^{-1}\lambda v\\ & \iff & v & =\lambda A^{-1}v\\ & \iff & \lambda^{-1} & =A^{-1}v \end{aligned}\)