Bestimmen einer Umkehrfunktion der Funktion f

Question

Text erkannt:

Bestimmen Sie die Umkehrfunktion der Funktion \( f \) mit
$$ f(x)=\frac{2 x}{x-3}, \quad x \in \mathbb{R} \backslash\{3\} $$
und geben Sie die Wertemenge der Umkehrfunktion an.
Auflösen nach \( x \) :
$$ \begin{array}{r} y=\frac{2 x}{x-3} \Longrightarrow y(x-3)=2 x \quad \Longrightarrow \quad x(y-2)=3 y \quad \Longrightarrow \quad x=\frac{3 y}{y-2} . \\ \text { Umkehrfunktion: } f^{-1}(x)=\frac{3 x}{x-2} \end{array} $$
Wertemenge der Umkehrfunktion entspricht Definitionsmenge der Funktion: \( \mathbb{W}_{f^{-1}}=\mathbb{R} \backslash\{3\} \)

Eine kleine Frage, beim "Auflösen nach x" nachdem zweiten Pfeil (=>) wie kommen die auf 2mal (y) also woher kommt das 2. y und der Wert wechsel von 2 auf 3y

Answer 1

\(\begin{aligned} &  & y\left(x-3\right) & =2x\\ & \implies & yx-3y & =2x &  & |+3y\\ & \implies & yx & =2x+3y &  & |-2x\\ & \implies & yx-2x & =3y\\ & \implies & x\left(y-2\right) & =3y \end{aligned}\)

Comments

Also um es zu verstehen, am Anfang haben Sie y * x und mal -3 gemacht um die Klammer aufzulösen. In Zeile 5 wie haben Sie die Werte wieder in Klammer gekriegt ? und wie kriege ich die (3)y jetzt rüber

\(\begin{aligned}  &  & y\left(x-3\right) & =2x \\  & \implies & yx-3y & =2x &  & |+3y\\  & \implies & yx & =2x+3y &  & |-2x\\  & \implies & yx-2x & =3y\\  & \implies & x\left(y-2\right) & =3y \end{aligned}\)

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und wie kriege ich die (3)y jetzt rüber

Mittels Addition von 3y auf beiden Seiten der Gleichung.

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wie kriege ich die (3)y jetzt rüber

Am besten gar nicht. Du musst durch (y-2) dividieren.

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\( \frac{3y}{y-2} \)  aber was passiert mit dem x ? Kann ich das einfach nach rechts rüber bringen während ich die 3y rüber bringe

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Du musst nun x und y vertauschen und bist fertig. Siehe Musterlösung.

:-)