Bestimmen einer Umkehrfunktion der Funktion f

Question

Text erkannt:

Bestimmen Sie die Umkehrfunktion der Funktion $f$ mit
$$f(x)=\frac{2 x}{x-3}, \quad x \in \mathbb{R} \backslash\{3\}$$
und geben Sie die Wertemenge der Umkehrfunktion an.
Auflösen nach $x$ :
$$\begin{array}{r} y=\frac{2 x}{x-3} \Longrightarrow y(x-3)=2 x \quad \Longrightarrow \quad x(y-2)=3 y \quad \Longrightarrow \quad x=\frac{3 y}{y-2} . \\ \text { Umkehrfunktion: } f^{-1}(x)=\frac{3 x}{x-2} \end{array}$$
Wertemenge der Umkehrfunktion entspricht Definitionsmenge der Funktion: $\mathbb{W}_{f^{-1}}=\mathbb{R} \backslash\{3\}$

Eine kleine Frage, beim "Auflösen nach x" nachdem zweiten Pfeil (=>) wie kommen die auf 2mal (y) also woher kommt das 2. y und der Wert wechsel von 2 auf 3y

Answer 1

$\begin{aligned} & & y\left(x-3\right) & =2x\\ & \implies & yx-3y & =2x & & |+3y\\ & \implies & yx & =2x+3y & & |-2x\\ & \implies & yx-2x & =3y\\ & \implies & x\left(y-2\right) & =3y \end{aligned}$

Comments

Also um es zu verstehen, am Anfang haben Sie y * x und mal -3 gemacht um die Klammer aufzulösen. In Zeile 5 wie haben Sie die Werte wieder in Klammer gekriegt ? und wie kriege ich die (3)y jetzt rüber

$\begin{aligned} & & y\left(x-3\right) & =2x \\ & \implies & yx-3y & =2x & & |+3y\\ & \implies & yx & =2x+3y & & |-2x\\ & \implies & yx-2x & =3y\\ & \implies & x\left(y-2\right) & =3y \end{aligned}$

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und wie kriege ich die (3)y jetzt rüber

Mittels Addition von 3y auf beiden Seiten der Gleichung.

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wie kriege ich die (3)y jetzt rüber

Am besten gar nicht. Du musst durch (y-2) dividieren.

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$\frac{3y}{y-2}$  aber was passiert mit dem x ? Kann ich das einfach nach rechts rüber bringen während ich die 3y rüber bringe

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Du musst nun x und y vertauschen und bist fertig. Siehe Musterlösung.

:-)