Aloha :)
Zunächst formen wir die Funktionsgleichung etwas um, sodass rechts nur noch ein \(x\) steht:$$y=f(x)=\frac{3x}{9+x}=3\cdot\frac{x}{9+x}=3\cdot\frac{9+x-9}{9+x}=3\left(1-\frac{9}{9+x}\right)$$Nun können wir die Gleichung leicht nach \(x\) umstellen:
$$\left.y=3\left(1-\frac{9}{9+x}\right)\quad\right|:3$$$$\left.\frac{y}{3}=1-\frac{9}{9+x}\quad\right|-1$$$$\left.\frac{y}{3}-1=-\frac{9}{9+x}\quad\right|\text{linke Seite auf einen Bruch bringen}$$$$\left.\frac{y-3}{3}=-\frac{9}{9+x}\quad\right|\text{Kehrwerte bilden}$$$$\left.\frac{3}{y-3}=-\frac{9+x}{9}\quad\right|\cdot(-9)$$$$\left.-\frac{27}{y-3}=9+x\quad\right|-9$$$$x=-\frac{27}{y-3}-9$$Die Umkehrfunktion latet daher:$$f^{-1}(x)=-\frac{27}{x-3}-9=-\frac{9x}{x-3}$$
