Umkehrfunktion bestimmen f(x)

Question

Text erkannt:

Bestimmen Sie die Umkehrfunktion der Funktion $f$ mit
$$f(x)=\frac{3 x}{9+x} .$$

Kann mir wer bitte hier eine mögliche Lösung zeigen

Answer 1

Hallo,

y= (3x)/(9+x) | *(9+x)

1.löse nach x auf:

y(9+x)=3x

9y +xy= 3x | -xy

9y= 3x -xy

9y= x(3-y) |: (3-y)

x= 9y/(3-y)

2. vertausche x und y:

y= 9x/(3-x)

Answer 2

Aloha :)

Zunächst formen wir die Funktionsgleichung etwas um, sodass rechts nur noch ein $x$ steht:$$y=f(x)=\frac{3x}{9+x}=3\cdot\frac{x}{9+x}=3\cdot\frac{9+x-9}{9+x}=3\left(1-\frac{9}{9+x}\right)$$Nun können wir die Gleichung leicht nach $x$ umstellen:

$$\left.y=3\left(1-\frac{9}{9+x}\right)\quad\right|:3$$$$\left.\frac{y}{3}=1-\frac{9}{9+x}\quad\right|-1$$$$\left.\frac{y}{3}-1=-\frac{9}{9+x}\quad\right|\text{linke Seite auf einen Bruch bringen}$$$$\left.\frac{y-3}{3}=-\frac{9}{9+x}\quad\right|\text{Kehrwerte bilden}$$$$\left.\frac{3}{y-3}=-\frac{9+x}{9}\quad\right|\cdot(-9)$$$$\left.-\frac{27}{y-3}=9+x\quad\right|-9$$$$x=-\frac{27}{y-3}-9$$Die Umkehrfunktion latet daher:$$f^{-1}(x)=-\frac{27}{x-3}-9=-\frac{9x}{x-3}$$

Answer 3

Vertauschen:

x= 3y/(9+y)

nach y auflösen:

x(9+y)-3y=0

9x+xy-3y=0

y(x-3)= -9x

y= -9x/(x-3)