Zeigen Sie, dass f für jedes n ∈ N eine Umkehrfunktion., die n-te Wurzel, f^-1=nte Wurzel von (.): [0,∞)-- [0,∞) …

Question

(Umkehrfunktion)

Gegeben sei für n ∈ N  die Funktion der n-ten Potenz

f = (.)^[0,∞)-->[0,∞), x→x^n.

(a) Zeigen Sie, dass f für jedes n ∈ N eine Umkehrfunktion., die n-te Wurzel, f^-1=nte Wurzel von (.): [0,∞)-->[0,∞) besitzt, die stetig und streng monoton wachsend ist.

(b) Zeigen Sie, das für die Umkehrfunktion f^-1 - also die n-te Wurzel- für alle x ∈ [0,∞) die folgende Gleichheit gilt: f^-1(x)=x^1/n.

Comments

Ich meinte natürlich f(.)^n und nicht f(.)^[0,∞). Der Definitionsbereich stimmt aber dann so. Hoffe es ist verständlich

Answer 1

Es soll gezeigt werden, dass für x≥0 die Ableitung von f^-1(x)=\( x^{\frac{1}{n}} \) ebenfalls positiv ist.

f^-1 '(x)=\( \frac{1}{n} \) ·\( x^{\frac{1}{n}-1} \)=\( \frac{x^{\frac{1}{n}}}{nx} \) ≥ 0,wenn x≥0.