Zeigen, dass die n-te Wurzel rational ist, wenn n | αi für i ∈ {1, 2, 3, . . .}.

Question

Aufgabe:

Sei a ∈ ℕ mit der Primfaktorzerlegung a = ∏ p_i^αi . (Das i bei α_i soll auch ein Index sein, außerdem steht unter dem Produktzeichen i=1 und darüber ∞, ich habe gerade nur etwas Probleme, das hier richtig darzustellen.)

Zeigen Sie, dass \( \sqrt[n]{a} \)  (n ∈ ℕ) genau dann rational ist, wenn n | αi für i ∈ {1, 2, 3, . . .}.

Problem/Ansatz:

Ich habe folgende Lösung, bin mir besonders bei dem einen Schritt (fett gedruckt) sehr unsicher, ob man das einfach so machen kann.

\( \sqrt[n]{a} \)   = ⁿ√(∏ pi^αi ) = (∏ p_i)^{\( \frac{αi}{n} \)} 

da n | α_i ist \( \frac{αi}{n} \) eine natürliche Zahl. 

p_i sind ebenfalls natürliche Zahlen, da es Primzahlen sind. Daher ist auch \( \sqrt[n]{a} \) natürlich und somit auch rational.

Answer 1

Du nutzt den Satz: Die Wurzel eines Produktes ist gleich dem Produkt der Wurzeln der Faktoren. Dein Beweis ist richtig.