Konvergenzradius berechnen, wenn an= (-1)^n/(3^n-2) ist. Warum ist lim n->oo n-te Wurzel von (-1)^n =1?

Question

ich rechne gerade etwas anan Potenzreihen herum und möchte den Konvergenzradius errechnen.

mein a_n ist (-1)^n/(3^n-2).

Hier wende ich Cauchy an, ziehe also die n-te Wurzel. im Nenner kann ich die -2 ja vernachlässigen wegen der Potenz (Das darf ich ja so machen oder? Wie schreibt man das eigentlich korrekt auf?) habe also

 

lim_n->oo((-1)ⁿ/3ⁿ-2)^1/n   das ergibt bei mir -1/3. 1/3 wäre aber richtig. Warum ist die n-te wurzel von (-1)^n=1 und nicht -1??

 

Vielen Dank schonmal!

Answer 1

Beides stimmt nicht. vgl.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28-1%29%5En%2F%283%5En+-+2%29

Der Grenzwert von deinem Term ist 0.

(-1)^n ist beschränkt.

3^n - 2 geht gegen unendlich.

Daher geht der Quotient gegen 0. Um das Vorzeichen von (-1)^n musst du dich nicht kümmern.

Comments

Aber wenn ich das mit lim n-> oo und der n-ten Wurzel eingebe (Cauchy Kriterium), kommt das hier raus:


https://www.wolframalpha.com/input/?i=lim+%28%28-1%29%5En%2F%283%5En+-+2%29%29%5E%281%2Fn%29


Bei deiner Rechnung geht es um den Grenzwert ohne n-te Wurzel oder?

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https://www.wolframalpha.com/input/?i=limes+%28%28-1%29%5En%2F%283%5En+-+2%29%29%5E%281%2Fn%29

Ich sehe gerade, was du meinst. n-te Wurzel aus einer negativen Zahl ist nicht definiert. Da hat man dann wohl einfach Definitionslücken. Bei geraden n steht oben immer 1. Daher geht die Wurzel aus dem Quotienten gegen + 1/3

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ah okay, also kann ich bei lim n->oo (-1)^n = 1 ausgehen, damit kann ich leben :-P.

Du hattest aber noch geschrieben, dass beides nicht stimmt (also der andere Teil der Rechnung).

Wenn ich die -2 einfach vernachlässige wegen der kleineren Potenz dann bekomme ich 1/3. Oder muss ich das anders machen?

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Bezog sich auf den Term ohne die Wurzel. Mit der Wurzel ist das dann mE schon i.O.
Schreib einfach dazu, dass du Definitionslücken hast bei ungeraden n.

Steht bei Cauchy irgendwo, wie du mit Definitionslücken umzugehen hast, ob du z.B. den Betrag nehmen kannst?
Ansonsten: Gibt's nicht noch ein Quotientenkriterium?

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Da muss ich mal nachschauen ob etwas da steht wegen der Definitionslücke.

Mir wurde gesagt sobald man (-1)^n hat, solle man das Quotientenkriterium lieber nicht anwenden.

(und die -2 darf ich einfach "wegschummeln"?, oder ist das Zufall das das gerade passt?)

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https://de.wikipedia.org/wiki/Konvergenzradius

Hier steht, dass man aus dem Betrag von an die Wurzel ziehen muss. Dann erübrigt sich der Teil mit dem - sowieso. |(-1)^n | = 1.

Ich mach das mal mit dem Quotientenkriterium. Da kann ich oben und unten durch 3^n dividieren.

(3^n - 2 ) / (3^{n+1} - 2)

= (1 - 2/3^n) / (3 - 2/3^n)

nun geht das für n--> unendlich gegen 1/3.

Wiederum: |(-1)^n | = 1 benutzt. Da auch hier Beträge zu verwenden sind.

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Ja. Im Vergleich zu 3^n kannst du - 2 vernachlässigen. Betrachte vielleicht noch meine (bald korrigiere Rechnung nach Quotientenkriterium)

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Ich habs kurz selber mit dem Quotientenkriterium gemacht.

Stimmt, das klappt echt gut. Eigentlich einfacher als mit Cauchy. Komisch das man das da nicht nehmen sollte. (vielleicht hab ich das dann doch falsch verstanden ^^. Wahrscheinlich ist es mühsam wenn man bei der 1 die Potenz n nicht weg lässt oder so.)

Vielen Dank für deine Hilfe!, echt klasse :-).

Answer 2

Achtung. Man darf hier ja nicht einfach die n. Wurzel ziehen weil

((-1)^n) / (3^n - 2) gegen 0 geht und damit geht

(((-1)^n) / (3^n - 2))^{1/n} gegen 0^0 und das ist nicht erlaubt.

Von mir aus betrachte das getrennt als
(1 / (3^n - 2))^{1/n} und (-1 / (3^n - 2))^{1/n}

und berechne von beiden getrennt die Grenzwerte. Du kommst bei beiden Ausdrücken auf den Grenzwert von 1/3.

Comments

(-1 / (3ⁿ - 2))^1/n

ist aber leider nicht definiert, wenn n>0 ist.

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geht  (1 / (3ⁿ - 2)) nicht auch gegen 0?

https://www.wolframalpha.com/input/?i=lim+%281+%2F+%283%5En+-+2%29%29

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Wenn n gerade wäre dürfte das ja kein Problem sein. Trotzdem kann man hier rechnerisch den Grenzwert ermitteln.

(1 / (3ⁿ - 2)) geht natürlich auch gegen Null. Daher sieht die Grenzwertbestimmung auch etwas komplizierter aus:

Achtung die beiden Folgenden Funktionen unterscheiden sich nur geringfügig:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=lim_%28n-%3Einfinity%29+%281%2F%28-2%2B3%5En%29%29%5E%281%2Fn%29

https://www.wolframalpha.com/input/?i=lim_%28n-%3Einfinity%29+%281%2F%282-3%5En%29%29%5E%281%2Fn%29

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mE stimmt beim 2. Teil von WolframAlphas Grenzwert etwas mit der Definition bei Wurzeln und Logarithmen von negativen Zahlen nicht.

Allerdings gefällt mir ansonsten der automatisch vorgeführte Trick zum Umgang mit solchen Wurzeltermen. (e^ln…)

Deshalb diese Schritt für Schritt- Lösung

Das Quotientenkriterium ist wohl hier definitiv einfacher...

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Hui, ich glaub da nehme ich doch lieber das Quotientenkriterium :D. Ist denke ich auch so gewollt, da die Aufgabe nicht all zu viele Punkte gibt.


Aber Dankeschön euch Beiden!

Answer 3

Für die Formel von Cauchy-Hadamard ist der Grenzwert der n-ten Wurzel aus dem BETRAG von a_n zu bilden.