Wie beweise ich, dass die n-te Wurzel von x <,>,= m-te Wurzel von x ist? m>n

Question

folgendes Problem habe ich:

Voraussetzung: m,n∈ℕ, m>n, x∈ℝ, x>0

^{\( \sqrt[n]{x} \) ??? \( \sqrt[m]{x} \)}

^{Die Aufgabe ist nun, die beiden Ausdrücke zu vergleichen bzw. in den Platzhalter "???" die entsprechenden Symbole <,≤,=,>,≥ einzusetzen.}

Soweit bin ich:

Man muss eine Fallunterscheidung für x=1, x<1, x>1 machen.

Meine Behauptungen sind:

1) x=1⇒ \( \sqrt[n]{x} \) = \( \sqrt[m]{x} \)

2) x<1⇒ \( \sqrt[n]{x} \) < \( \sqrt[m]{x} \)

3) x>1⇒ \( \sqrt[n]{x} \) > \( \sqrt[m]{x} \)

Wenn man das mit Beispielen durchrechnet, ist das auch alles logisch. Ich weiß nur nicht, wie genau ich das beweisen soll.

Meine Idee war jetzt:

1) egal welche Wurzel ich ziehe, das Ergebnis bleibt immer "1".

2) Sei m>n. Dann ist 1/n > 1/m. Dann gilt wegen 0<a<1 a^(1/n) < a^(1/m). Wenn die Basis zwischen 0 und 1 liegt, ist das Ergebnis ja umso größer, je kleiner die Potenz ist. Das gleiche Prinzip hätte ich für 3) angewendet. Meine "Befürchtung" ist aber, dass ich den Schritt nach a^(1/n) < a^(1/m) noch separat beweisen muss und nicht einfach davon ausgehen darf, dass es stimmt.

Answer 1

f(x) = a^(1/x)

f'(x) = -a^(1/x)·LN(a)/x^2

Das Vorzeichen der Ableitung hängt von a ab. ist a < 1 ist die Ableitung positiv und damit die Funktion streng monoton steigend. D.h. die 3. Wurzel ist auch größer als die 2. Wurzel.

Ist a = 1 ist die Ableitung 0 und man hat eine konstante Funktion.

Ist a > 1 ist die Ableitung negativ und die Funktion streng monoton fallend. Dann ist die 3. Wurzel kleiner als die 2. Wurzel.