n-te Wurzel Komplexe Zahlen bestimmen. z^19, es darf nur eine Lösung sein

Question

Aufgabe:

b) Gegeben ist \( z=-\sqrt{3}+\mathrm{i} . \) Geben Sie die Polarkoordinatendarstellung \( r(\cos (\varphi)+\mathrm{i} \sin (\varphi)) \) mit \( 0 \leq r \) und \( 0 \leq \varphi<2 \pi \) fur
\( c=z, \quad d=z^{19} \)

Problem/Ansatz:

ich habe für c=2(cos(5/6π)+isin(5/6π)) Das sollte richtig sein.

jetzt krieg ich d, also z¹⁹  nicht hin.

Ich kann nur eine Lösung eintragen, aber sind es nicht 19 Lösungen insgesamt?

ich habe als erste Lösung: \( \sqrt[19]{2} \)(cos(5/114π)+isin(5/114π)), aber das mit der Wurzel kann ich nicht in die Lösung eintragen.

Freue mich über schnelle Hilfe:)

Answer 1

Ach. Du sollst z^19 bilden und nicht die 19. Wurzel. Das war dein Fehler.

z = 2·(COS(5/6·pi) + i·SIN(5/6·pi))

z^19 = 524288·(COS(11/6·pi) + i·SIN(11/6·pi))

Comments

ja, ist ja nur umgeschrieben, aber leider gabs dafür immernoch keinen Punkt. Habe keine Lösung davon. Es wird nur im Nachhinein gezeigt, ob es richtig ist oder falsch nach dem man es auswerten lässt.

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Ach. Du sollst z^19 bilden und nicht die 19. Wurzel. Das war dein Fehler.

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hm, also du meinst sozusagen: (-\( \sqrt{3} \)+i)^{19 ?}

Dann  bin ich jetzt etwas überfordert mit der Umwandlung in Polar.

Wie geh ich mit der Potenz um?

r= |z| =√(-\( \sqrt{3} \)+i)¹⁹*(-\( \sqrt{3} \)-i)¹⁹

cos(pi)= \( \frac{Re}{|z|} \) = -\( \sqrt{3} \)? /|z|

sin(pi) =  \( \frac{im}{|z|} \) = i? /|z| bzw. 1?/|z|

wie löst man das am Besten?

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Du wandelst dein z zuerst in Polarform um und nimmst sie dann hoch 19 und nicht umgekehrt.

D.h. du nimmst den Betrag hoch 19 und multiplizierst den Winkel mit 19. Achtung der Winkel ist dann wieder auf den Bereich von 0 bis 2pi zu bringen indem du vielfache von 2pi subtrahierst.

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also es ist ja 2(cos(5/6π)+isin(5/6π))

2^19= 524288

5/6 *19 = 95/6 → 5/6 < 2π

--> Lösung 524288(cos(5/6π)+isin(5/6π))

edit:

mit 11/6 ist es jetzt richtig :))

danke!

Was ist der Unterschied zwischen 5/6 und 11/6? sind ja beide < 2π

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du musst 5/6 * 19 = 95/6 rechnen. Da dies aber größer als 2 ist müssen wir vielfache von 2 abziehen.

95/6 - 7 * 2 = 11/6