Berechnen Sie für die folgende Matrix alle Eigenwerte, sowie die zugehörigen Eigenräume.

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie für die folgende Matrix \( A \) alle Eigenwerte, sowie die zugehörigen Eigenräume. Geben Sie die Eigenräume jeweils als Spannraum einer Basis an.
\( A=\left(\begin{array}{rrr} 4 & 0 & 1 \\ -2 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & 1 \end{array}\right), \quad B=\left(\begin{array}{rr} -1 & 1 \\ 2 & 0 \end{array}\right) \)
Untersuchen Sie, ob es für die Matrix \( B=\left(\begin{array}{rr}-1 & 1 \\ 2 & a\end{array}\right) \) Parameterwerte \( a \in \mathbb{R} \) gibt, so dass \( B \) einen Eigenwert der Vielfachheit 2 besitzt.

Problem/Ansatz:

Aufgabe 1 hab ich die Eigenwerte 1,2,3. Und die Eigenräume sind < 0,1,0 > , <-1/2,1,1>, <-1,1,1>. die sind alle transpositiniert.

Bei Aufgabe 2 würde ich versuchen die determinante zu brechnen und dann hab ich leider keine Idee, wie ich es weiter machen kann, um heraus zu finden, ob es einen Eigenwert der Vielfachheit 2 besitzt.

Answer 1

1 ist richtig.

Bei 2)

\( det(\left(\begin{array}{rr}-1 & 1 \\ 2 & a\end{array}\right)-x\cdot E) \)

müsste dann für ein a eine doppelte Nullstelle haben.

Also Diskriminante der quad. Gleichung wäre dann 0 .

Aber (-a^2 -2a-9)/4 = 0 hat keine reelle Lösung.

Comments

wie kommst du den auf die Gleichung bei b?

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Wenn A den Eigenwert x hat, dann gibt es einen Vektor v (≠0)

mit A*v = x*v  also auch

 A*v = (x*E)*v

<=>  (A-xE)*v = 0

Also hat das homogene lin.Gl.syst.

       (A-xE)*v = 0   eine von 0 verschiedene Lösung,

also  gilt     \( det(\left(\begin{array}{rr}-1 & 1 \\ 2 & a\end{array}\right)-x\cdot E)  =0  \)

und Vielfachheit 2 heißt dass x eine doppelte Nullstelle ist.

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danke für die Erklärung