Man muss hier das Integral geschickt abschätzen und dabei die Stetigkeit von \(f\) aus nutzen.
Ich setze
\(I_n = \sqrt[n]{\int_0^1f^n(x)\;dx}\)
Da \(f\) stetig ist, existiert
\(M =\max_{x\in[0,1]}f(x)\)
Zu zeigen ist also dass \(\lim_{n\to\infty}I_n\) existiert und gleich \(M\) ist.
Zunächst gilt:
\(0\leq f(x) \leq M\Rightarrow 0\leq f^n(x) \leq M^n\)
\(\Rightarrow I_n \leq \sqrt[n]{\int_0^1M^n\;dx} = M\)
\(\Rightarrow \limsup I_n \leq M\)
Da \(f\) stetig ist, gibt es zu beliebigem aber festem \(\epsilon > 0\) (\(\epsilon <M\)) ein nichtleeres Intervall \([c,d]\) (also \(c<d\)) mit
\([c,d] \subseteq [0,1]\) und \(f(x) \geq M-\epsilon\)
Daraus folgt
\(\int_0^1f^n(x)\;dx \geq \int_{\color{blue}{c}}^{\color{blue}{d}}f^n(x)\;dx \geq (d-c)(M-\epsilon)^n\)
Also
\(I_n \geq \underbrace{\sqrt[n]{d-c}}_{\stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow}1}(M-\epsilon)\)
\(\liminf I_n \geq M-\epsilon\) für beliebiges \(\epsilon > 0\)
\(\Rightarrow \liminf I_n \geq M\)
Insgesamt:
\(\liminf I_n = \limsup I_n = M\).
Das bedeutet, \(\lim_{n\to\infty} I_n\) existiert und ist gleich \(M\).
