Zeigen Sie, dass die Funktion f: ℝ → ℝ definiert durch f(x)=x^{2} integrierbar ist, und berechnen Sie das folgende …

Question

Aufgabe:

Riemannsummen
(a) Beweisen Sie, dass für alle \( n \in \mathbb{N} \) gilt:
\( \sum \limits_{k=1}^{n} k^{2}=\frac{1}{3} n^{3}+\frac{1}{2} n^{2}+\frac{1}{6} n . \)
(b) Zeigen Sie, dass die Funktion \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) definiert durch \( f(x)=x^{2} \) integrierbar ist, und berechnen Sie das folgende bestimmte Integral mittels Riemann-Summen und geeignet gewählten Zerlegungen:
\( \int \limits_{0}^{t} f(x) \mathrm{d} x . \)

Kann das jemand Schritt für Schritt erklären ?

Answer 1

Ja. Beweise a) mit vollständiger Induktion. Wenn du den Beweis vorzeigen kannst zeigen wir dir, wie du diese Summe für eine Ober- oder Untersumme in der Teilaufgabe b) verwenden kannst.

Die Obersumme erhältst du, indem du das Intervall von 1 bis t in k Intervalle der Breite t/k unterteilst.

Die Höhe der dabei entstehenden Rechtecke entspricht dem Funktionswert der rechten Intervallgrenze, also (t/k)², (2t/k)², (3t/k)² bis (kt/k)².

Die Summe der Flächeninhalte ist dann \( \sum\limits_{i=1}^{k}{\frac{t}{k}\cdot \frac{t^2}{k^2}(i^2)}=\frac{t^3}{k^3}\cdot \sum\limits_{i=1}^{k}{i^2}\).

Comments

\( \begin{array}{l}z . z \sum \limits_{k=1}^{n+1} k^{2}=\frac{1}{3}(n+1)^{3}+\frac{1}{2}(n+1)^{2}+\frac{1}{6}(n+1) \\ \sum \limits_{k=1}^{n+1} k^{2}=\sum \limits_{k=1}^{n} k^{2}+\sum \limits_{k=n+1}^{n+1} k^{2} \\ \stackrel{\text { IV }}{=} \frac{1}{3} n^{3}+\frac{1}{2} n^{2}+\frac{1}{6} n+(n+1)^{2} \\ \stackrel{\text { bino }}{=} \frac{1}{3} n^{3}+\frac{1}{2} n^{2}+\frac{1}{6} n+n^{2}+2 n+1 \\ \stackrel{25 m}{=} \frac{1}{3} n^{3}+\frac{3}{2} n+\frac{13}{6} n+1 \\\end{array} \)

Ich bin bis hier hin gekommen ich weiß jetzt nicht wie ich da weiter vorgehen soll um die Form mit (n+1) zu erhalten

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Ich wüsste halt wie man das was man zu zeigen hat in die Form bringt sodass es 0 ergibt

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Multipliziere das zu zeigende \( \frac{1}{3}(n+1)^{3}+\frac{1}{2}(n+1)^{2}+\frac{1}{6}(n+1)  \) aus.

Wenn da \(  \frac{1}{3} n^{3}+\frac{3}{2} n+\frac{13}{6} n+1  \) rauskommt ist alles gelaufen.

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\( \begin{array}{l}\frac{1}{3}(n+1)^{3}+\frac{1}{2}(n+1)^{2}+\frac{1}{6}(n+1) \\ =\frac{1}{3}\left(n^{3}+3 n^{2}+3 n+1\right)+\frac{1}{2}\left(n^{2}+2 n+1\right)+\frac{1}{6}(n+1) \\ =\frac{n^{3}+3 n^{2}+3 n+1}{3}+\frac{n^{2}+2 n+1}{2}+\frac{n+1}{6} \\ =\frac{2\left(n^{3}+3 n^{2}+3 n+1\right)}{2 \cdot 3}+\frac{3\left(n^{2}+2 n+1\right)}{3 \cdot 2}+\frac{n+1}{6} \\ =\frac{2 n^{3}+6 n^{2}+6 n+2}{6}+\frac{3 n^{2}+6 n+3}{6}+\frac{n+1}{6} \\ =\frac{2 n^{3}+6 n^{2}+6 n+2+3 n^{2}+6 n+3+n+1}{6} \\ =\frac{2 n^{3}+9 n^{2}+13 n+6}{6} \\ =\frac{2 n^{3}}{6}+\frac{9 n^{2}}{6}+\frac{13 n}{6}+\frac{6}{6} \\ =\frac{1 n^{3}}{3}+\frac{3 n^{2}}{2}+\frac{13 n}{6}+1 \\ =\frac{1}{3} n^{3}+\frac{3}{2} n^{2}+\frac{13}{6} n+1 \\\end{array} \)