Aloha :)
Zunächst zu den "Vokabeln":
Ein Homorphismus \(\varphi\) ist eine lineare Abbildung von einem \(\mathbb K\)-Vektorraum \(V\) in einen \(\mathbb K\)-Vektorraum \(W\), das heißt: \(\varphi\colon V\to W\).
Linear heißt, dass folgende zwei Bedingungen erfüllt sind:$$\varphi(\vec a+\vec b)=\varphi(\vec a)+\varphi(\vec b)\quad;\quad \vec a,\vec b\in V\quad\text{(Additivität)}$$$$\varphi(\text{const}\cdot\vec a)=\text{const}\cdot\varphi(\vec a)\quad;\quad\text{const}\in\mathbb K\quad\text{(Homogenität)}$$
Bestimmte Eigenschaften grenzen den allgemeinen Homomorphismus ein:$$\begin{array}{l|c|c|c|}\text{Typ} & V=W & \text{injektiv} & \text{surjektiv}\\\hline\text{Endo-Morphismus} & \checkmark\\\text{Auto-Morphismus} & \checkmark & \checkmark & \checkmark\\\text{Mono-Morphismus} & & \checkmark\\\text{Epi-Morphismus} & & & \checkmark\\\text{Iso-Morphismus} & & \checkmark & \checkmark\end{array}$$
Alle diese "Morphismus"-Typen lassen sich als Matrix darstellen.
Bestimmung der Eigenwerte:
Die Eigenwerte sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms:
$$0\stackrel!=\left|\begin{array}{rrr}-3-\lambda & 2 & 4\\-2 & 1-\lambda & 4\\-2 & 2 & 3-\lambda\end{array}\right|=-(\lambda-3)(\lambda+1)^2\implies\lambda_1=3\;;\;\lambda_2=-1$$Das Ausrechnen der Determinante habe ich hier nicht explizit vorgeführt, um dir die Freude daran nicht zu nehmen ;)
Bestimmung der Eigenvektoren:
Jetzt musst du die Eigenwerte in die charakteristische Matrix einsetzen und deren Kern bestimmen. Dazu erzeugen wir in dem Gleichungssystem so viele Spalten wie möglich, die lauter Nullen und genau eine Eins enthalten.
Für den \(\lambda_2=-1\) heißt das:$$\begin{array}{rrr|c|l}x & y & z & = & \text{Aktion}\\\hline-3-\lambda & 2 & 4 & 0 & \lambda=-1\text{ einsetzen}\\-2 & 1-\lambda & 4 & 0 &\lambda=-1\text{ einsetzen}\\-2 & 2 & 3-\lambda & 0 &\lambda=-1\text{ einsetzen}\\\hline-2 & 2 & 4 & 0 &:(-2)\\-2 & 2 & 4 & 0 &-\text{Gleichung 1}\\-2 & 2 & 4 & 0 &-\text{Gleichung 1}\\\hline1 & -1 & -2 & 0 &\Rightarrow x-y-2z=0\\0 & 0 & 0 & 0 &\Rightarrow 0=0\quad\checkmark\\0 & 0 & 0 & 0 &\Rightarrow0=0\quad\checkmark\\\hline\hline\end{array}$$Wir haben also eine Bedingung an alle Lösungen gefunden: \(\quad x=y+2z\)
Damit können haben wir zwei Eigenvektoren zum Eigenwerte \((\lambda_2=-1)\) gefunden:$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}y+2z\\y\\z\end{pmatrix}=y\cdot\underbrace{\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}_{=\vec v_1}+z\cdot\underbrace{\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}}_{=\vec v_2}$$
Für \(\lambda_1=3\) heißt das:$$\begin{array}{rrr|c|l}x & y & z & = & \text{Aktion}\\\hline-3-\lambda & 2 & 4 & 0 & \lambda=3\text{ einsetzen}\\-2 & 1-\lambda & 4 & 0 &\lambda=3\text{ einsetzen}\\-2 & 2 & 3-\lambda & 0 &\lambda=3\text{ einsetzen}\\\hline-6 & 2 & 4 & 0 &-3\cdot\text{Gleichung 3}\\-2 & -2 & 4 & 0 &-\text{Gleichung 3}\\-2 & 2 & 0 & 0 &:(-2)\\\hline0 & -4 & 4 & 0 &-\text{Gleichung 2}\\0 & -4 & 4 & 0 &:(-4)\\1 & -1 & 0 & 0 &\\\hline 0 & 0 & 0 & 0 & \Rightarrow 0=0\quad\checkmark\\0 & 1 & -1 & 0 & \Rightarrow y-z=0\\1 & -1 & 0 & 0 &\Rightarrow x-y=0\\\hline\hline\end{array}$$Wir haben also zwei Bedingung an alle Lösungen gefunden$$y=z\;\land\;x=y\quad\implies\quad x=y=z$$
Damit können haben wir einen Eigenvektor zum Eigenwerte \((\lambda_1=3)\) gefunden:$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\x\\x\end{pmatrix}=x\cdot\underbrace{\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}_{=\vec v_3}$$
