Beweis zu Eigenvektoren und Eigenräumen

Question

Aufgabe:

Ist \(v\in V\) Eigenvektor von \(\varphi\) zum Eigenwert \(\lambda\) , so ist \(v\) auch Eigenvektor von

\(\varphi^k\) zum Eigenvert \(\lambda^k\).

Gilt stets $$V_{\varphi^{k}, \lambda^{k}}=V_{\varphi, \lambda}\;\text{?}$$

Problem/Ansatz:

Ich habe vorher gezeigt, dass wenn \(\lambda\) Eigenwert des Endorphismus \(\varphi\) ist

auch gelten muss, dass \(\lambda^k\) Eigenwert des Endorphismus \(\varphi^k\) sein muss.

Kann man das für die Bearbeitung der Aufgabe nutzen?

Answer 1

Gilt stets $$V_{\varphi^{k}, \lambda^{k}}=V_{\varphi, \lambda}\;\text{?}$$

Nein. Sei z.B. \(V=R^2\)  und \(\varphi:V\rightarrow V\) der Endomorphismus,

dessen darstellende Matrix bzgl. der Standardbasis \(e_1,e_2\)

\(\left(\begin{array}{cc}0&1\\0&0\end{array}\right)\) ist.

Dann ist \(V_{\varphi^2,0^2}=R^2\), aber \(V_{\varphi,0}=Re_1\).