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Eigenwerte, Eigenvektoren, Eigenräume der ersten Ableitung
Um die Eigenwerte, Eigenvektoren und Eigenräume der ersten Ableitung \(D = \frac{d}{d x}\) zu bestimmen, betrachten wir die Wirkung von \(D\) auf eine Funktion \(f \in V\). Die Funktion \(f\) ist ein Eigenvektor von \(D\) zum Eigenwert \(\lambda\), wenn gilt:
\(D(f) = \lambda f\)
Das bedeutet, die Ableitung von \(f\) soll das \(\lambda\)-fache der Funktion \(f\) selbst sein. Um eine solche Funktion zu finden, können wir den gegebenen Hinweis nutzen und die Logarithmusfunktion betrachten oder eine andere Funktion, die diese Bedingung erfüllt. Eine Klasse von Funktionen, die offensichtlich diese Bedingung erfüllt, sind die Exponentialfunktionen der Form \(f(x) = e^{\lambda x}\). Wenn wir \(D\) darauf anwenden, erhalten wir:
\(D(f) = D(e^{\lambda x}) = \lambda e^{\lambda x} = \lambda f\)
Somit ist jedes \(\lambda \in \mathbb{R}\) ein Eigenwert von \(D\), und die zugehörigen Eigenvektoren sind die Funktionen der Form \(f(x) = e^{\lambda x}\).
Eigenräume
Der Eigenraum zu einem Eigenwert \(\lambda\) ist die Menge aller Funktionen \(f\) für die gilt \(D(f) = \lambda f\). Da \(e^{\lambda x}\) für jedes \(\lambda\) ein Eigenvektor ist, besteht der Eigenraum zu einem gegebenen \(\lambda\) aus allen Vielfachen der Funktion \(e^{\lambda x}\), also:
\(E_{\lambda} = \{c e^{\lambda x} | c \in \mathbb{R}\}\)
Existenz einer Eigenbasis
In diesem Kontext besteht die Schwierigkeit einer Eigenbasis darin, dass der Raum \(V\) unendlich-dimensional ist, und die Eigenvektoren \(e^{\lambda x}\) bilden eine kontinuierliche Familie von Lösungen, die von \(\lambda\) abhängen. In einem unendlichen-dimensionalen Raum kann die Frage einer Basis sehr komplex sein, und die übliche Vorstellung einer Basis als eine endliche Menge von Vektoren, durch die sich jeder Vektor im Raum eindeutig ausdrücken lässt, passt hier nicht.
Da die Funktionen \(e^{\lambda x}\) für jedes \(\lambda\) Eigenvektoren sind, gibt es unendlich viele Eigenwerte und Eigenvektoren. Eine "Basis" in einem herkömmlichen Sinne, die aus einer abzählbaren Menge von Funktionen besteht, reicht nicht aus, um jeden möglichen Vektor in \(V\) auszudrücken, insbesondere, da die Menge der Eigenvektoren über einem Kontinuum von \(\lambda\)-Werten verteilt ist. Darüber hinaus macht die Struktur von \(V\) als Raum von Funktionen die Konzeption einer Basis, wie sie in endlich-dimensionalen Vektorräumen verstanden wird, problematisch.
Zusammenfassend können wir feststellen, dass jede reelle Zahl ein Eigenwert von \(D\) ist und dass die zugehörigen Eigenvektoren die Exponentialfunktionen \(e^{\lambda x}\) sind. Der Raum \(V\) lässt jedoch nicht in herkömmlicher Weise eine Eigenbasis aus den Eigenvektoren zu \(D\) zu, da die Menge der Eigenvektoren sich über ein Kontinuum erstreckt und die üblichen Konzeptionen einer Basis auf diese Situation nicht anwendbar sind.
