Berechnen Sie Eigenwerte und zugehörige Eigenräume (durch Angabe einer Basis)

Question

Hallo :)

Berechnen Sie Eigenwerte und zugehörige Eigenräume (durch Angabe einer Basis) für die folgenden 2 × 2-Matrizen aus K2×2, und zwar getrennt für die Fälle K = R und K = C:

Das ist meine Aufgabe, die Eigenwerte sowie Eigenvektoren kann ich berechnen, allerdings hab  ich keine Ahnung was mit Eigenräume, durch Angabe einer Basis gemeint ist.

Und ich weiß nicht wie ich zwischen Rationalen und Komplexen Zahlen unterscheiden soll.

Ich hab noch mehr Aufgaben, aber ich denke ein Bsp reicht.

( 0 1 )

  1  0              2x2 Matrix

λ₁ = -1

λ₂ = 1

x₁ = (1)

        -1

x₂ = (1)

         1

Ich hoffe das stimmt, wie mache ich jetzt weiter, muss ich mir eine Basis ausrechnen, wenn ja wie?

Comments

Okay dank Eigenarbeit habe ich einiges erschlossen (hoffentlich richtig!)

und ich bin bei der Matrix  ( 0  -1)

                                            1    0

auf den Eigenwert λ² = -1

also ein komplexes lambda gestoßen, also hab ich demnach λ = i 

stimmt das? damit ich dann mit 

(0 - 1i) x -1y = 0

1x + (0 -1i) y = 0

rechnen kann?

Answer 1

(0 - 1i) x -1y = 0

1x + (0 -1i) y = 0

Das musst du jetzt lösen:

gibt y beliebiges z aus C und wegen x -i*y = 0 also x = i*y = i*z

also alle Lösungen in der Art  ( z  ;  i*z ) =   z* ( 1 ; i )

Diese bilden den Eigenraum zu lambda = i.

Da alle Vektoren in diesem Raum Vielfache von ( 1 ; i ) sind,

ist ( 1 ; i ) eine Basis dieses Eigenraumes.

Dann gibt es aber auch noch den Eidenwert - i

und im reellen (nicht rational ! )  gibt es keine Eigenwerte.

Comments

Weiss man denn, dass über C noch zusätzliche Eigenwerte existieren?

EDIT: Alles klar. Hatte Vorzeichenfehler in der Eingabe.

Answer 2

EDIT: https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28%280%2C-1%29%2C%281%2C0%29%29+

Deine ursprüngliche Antwort war doch nicht richtig. Angenommen, sie wäre das:

Da du zu jedem deiner Eigenwerte einen Eigenvektor ≠ Nullvektor gefunden hast, ist dieser bereits ein Basis des jeweiligen Eigenraums.

 

B₁ = { (-1)  }    ist Basis des Eigenraums zum Eigenwert λ₁ = -1

             1

Basis des Eigenraums zum Eigenwert λ₂ = 1:

B₂ = { (1)  }  

         1