Schnitt von Eigenräumen

Question

Aufgabe:

Schnitt von Eigenräumen beweisen

Problem 3 Schnitt von Eigenräumen
Gegeben seien eine Matrix \( \mathbf{A} \in \mathbb{C}^{n \times n} \) und Eigenwerte \( \lambda_{1}, \lambda_{2} \in \mathbb{C} \) von \( \mathbf{A} \) mit \( \lambda_{1} \neq \lambda_{2} \). Des Weiteren sei mit Eig \( (\lambda) \) der Eigenraum eines beliebigen Eigenwerts \( \lambda \) bezeichnet. Beweisen Sie, dass
\( \operatorname{Eig}\left(\lambda_{1}\right) \cap \operatorname{Eig}\left(\lambda_{2}\right)=\{\mathbf{o}\} . \)

Problem/Ansatz:

Ich habe leider keine Idee, wie ich hier vorgehe.

Comments

Hat jemand eine Idee?

Answer 1

Sei \( x\in \operatorname{Eig}\left(\lambda_{1}\right) \cap \operatorname{Eig}\left(\lambda_{2}\right) \).

Dann gilt

$$Ax = \lambda_1x = \lambda_2 x \Rightarrow (\lambda_1-\lambda_2)x= o\stackrel{\lambda_1\neq \lambda_2}{\Rightarrow} x= o$$