Aloha :)
zu b) Mir ist nicht ganz klar, was mit "geschultem Auge" gemeint ist. Hier kannst du alle Eigenwerte im Kopf bestimmen. Ich schreibe das aber mal ausführlich auf, damit du es detailliert nachvollziehen kannst.
Die Matrix hat eine Blockgestalt:$$A=\left(\begin{array}{rrr|rr}0 & 2 & -6 & 0 & -8\\1 & -1 & 6 & 1 & 7\\0 & 0 & 1 & -2 & -1\\\hline0 & 0 & 0 & -4 & -4\\0 & 0 & 0 & 2 & 2\end{array}\right)$$
Wie betrachten zuerst die Blockmatrix links oben.
Die Spur der Blockmatrix ist gleich \(0\) und ihre Determinante ist \((-2)\). Also ist die Summe der drei Eigenwerte gleich \(0\) und ihr Produkt ist gleich \((-2)\):$$\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=0\quad;\quad\lambda_1\cdot\lambda_2\cdot\lambda_3=-2$$Die Summe der Elemente ist in jeder der drei Spalten gleich \(1\), also ist \(\lambda_1=1\) ein Eigenwert der Blockmatrix. Das heißt für die übrigen beiden Eigenwerte:$$\lambda_2+\lambda_3=-1\quad;\quad\lambda_2\cdot\lambda_3=-2$$Im Kopf findet man \(\lambda_2=1\) und \(\lambda_3=-2\). Damit haben wir 3 Eigenwerte der Matrix \(A\):$$\lambda_1=\lambda_2=1\quad;\quad\lambda_3=-2$$
Nun zur Blockmatrix rechts unten:
In beiden Spalten ist die Summe der Elemente jeweils \((-2)\), also ist \(\lambda_4=-2\) ein Eigenwert der unteren Blockmatrix. Zusätzlich ist die Determinante \(0\), sodass das Produkt der beiden Eigenwerte \(0\) sein muss, also ist \(\lambda_5=0\).
Damit kennen wir die 5 Eigenwerte der Matrix \(A\):$$\lambda_1=\lambda_2=1\quad;\quad\lambda_3=\lambda_4=-2\quad;\quad\lambda_5=0$$
zu a) Hier würde ich mich deiner Argumentation anschließen. Die Matrix ist diagonalisierbar, wenn die geometrische Vielfachheit der Eigenwerte gleich ihrer algebraischen Vielfachheit ist.
zu c) Die diagonalsierende Matrix \(T\) enthalt alle Eigenvektoren als Spalten. Damit die Diagonalisierung hier funktioniert, brauchen wir für \(\lambda_1=\lambda_2=1\) und für \(\lambda_3=\lambda_4=-2\) jeweils 2 Eigenvektoren.
Die Eigenvektoren für \(\lambda_3=\lambda_4=-2\) und \(\lambda_5=0\) habe ich unseren Freund Wolfram berechnen lassen:$$\vec v_3=\begin{pmatrix}1\\0\\-1\\-2\\1\end{pmatrix}\quad;\quad\vec v_4=\begin{pmatrix}-1\\1\\0\\0\\0\end{pmatrix}\quad;\quad\vec v_5=\begin{pmatrix}-6\\0\\1\\0\\0\end{pmatrix}$$
Die Eigenvektoren für \(\lambda_1=\lambda_2=1\) rechnen wir zusammen aus, damit du es mal gesehen hast. Unser Ziel bei den folgenden Umformungen ist es, so viele Spalten wie möglch zu erhalten, die aus genauer einer Eins und sonst nur Nullen bestehen:$$\begin{array}{rrrrr|c|l}x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & x_5 & = & \text{Operation}\\\hline0-\lambda & 2 & -6 & 0 & -8 & 0 &\lambda=1\text{ einsetzen}\\1 & -1-\lambda & 6 & 1 & 7 & 0 &\lambda=1\text{ einsetzen}\\0 & 0 & 1-\lambda & -2 & -1 & 0 & \lambda=1\text{ einsetzen}\\0 & 0 & 0 & -4-\lambda & -4 & 0 &\lambda=1\text{ einsetzen}\\0 & 0 & 0 & 2 & 2-\lambda & 0 & \lambda=1\text{ einsetzen}\\\hline-1 & 2 & -6 & 0 & -8 & 0 & +\text{Zeile 2}\\1 & -2 & 6 & 1 & 7 & 0 & \\0 & 0 & 0 & -2 & -1 & 0 &+\text{Zeile 5} \\0 & 0 & 0 & -5 & -4 & 0 & +3\cdot\text{Zeile 5}\\0 & 0 & 0 & 2 & 1 & 0 & \\\hline0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & -\text{Zeile 4}\\\pink1 & -2 & 6 & 1 & 7 & 0 & -\text{Zeile 4}\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \checkmark\\0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & \\0 & 0 & 0 & 2 & 1 & 0 &-2\cdot\text{Zeile 4}\\\hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &\checkmark\\\pink1 & -2 & 6 & 0 & 8 & 0 &-\frac83\cdot\text{Zeile 5}\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \checkmark\\0 & 0 & 0 & \pink1 & -1 & 0 &+\frac13\cdot\text{Zeile 5}\\0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 0 &\div3\\\hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &\checkmark\\\pink1 & -2 & 6 & 0 & 0 & 0 &\Rightarrow\pink{x_1}-2x_2+6x_3=0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \checkmark\\0 & 0 & 0 & \pink1 & 0 & 0 &\Rightarrow\pink{x_4}=0\\0 & 0 & 0 & 0 & \pink1 & 0 &\Rightarrow \pink{x_5}=0\end{array}$$
Die Gleichungen stellen wir nach den pinken Variablen um:$$\pink{x_1}=2x_2-6x_3\quad;\quad\pink{x_4}=0\quad;\quad\pink{x_5}=0$$und geben damit alle Lösungen des Gleichungssystems an:$$\vec x=\begin{pmatrix}\pink{x_1}\\x_2\\x_3\\\pink{x_4}\\\pink{x_5}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2x_2-6x_3\\x_2\\x_3\\0\\0\end{pmatrix}=x_2\cdot\underbrace{\begin{pmatrix}2\\1\\0\\0\\0\end{pmatrix}}_{=\vec v_1}+x_3\cdot\underbrace{\begin{pmatrix}-6\\0\\1\\0\\0\end{pmatrix}}_{=\vec v_2}$$
Damit sind die beiden noch fehlenden Eigenvektoren \(\vec v_1\) und \(\vec v_2\) auch bekannt.
Schreibe die Eigenvektoren nun als Spalten in eine Matrix \(T\) und du hast die diagonalisierende Matrix gefunden.
