Man kann die Matrix durch Vertauschung von Zeilen und Spalten in eine obere Block-Dreiecksmatrix verwandeln und dadurch den Rechenaufwand minimieren.
Aber ob diese Methode wirklich schneller ist, hängt wohl davon ab, ob man diese Vertauschungen "schnell sieht".
Die Matrix hat folgende Blockgestalt:
$$A = \begin{pmatrix} \star & 0 & \star \\ 0 & \star & 0\\ \star & 0 & \star\end{pmatrix}$$
Vertauschen von 2. und 3. Block-Zeile und dann von 2. und 3. Block-Spalte ergibt:
$$\begin{pmatrix} \star & \star & 0 \\ \star & \star & 0\\ 0 & 0 & \star\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 &2 &0 & 0 \\ 0 & 3 & 2 & 0 &0 & 0\\ 0 & 2 & 3 & 0&0 & 0\\ 2 & 0 & 0 & 3&0 & 0 \\ 0 &0 & 0 & 0 &3 & 2 \\ 0 &0 & 0 & 0 &2 & 3\end{pmatrix}$$
Jetzt vertauschst du in der linken oberen Blockmatrix 2. und 4. Spalte und dann 2. und 4. Zeile und erhältst:
$$\det A = 5\cdot \det \begin{pmatrix} 3 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & 3 &0 & 0\\ 0 & 0 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 2 & 3 \end{pmatrix} = 5\cdot 5 \cdot 5$$
