Aloha :)
Die Determinante enthält genau eine komplexe Zahl an Position \((4,4)\). Wir entwickeln daher die Determinante nach der 4-ten Zeile. Da wir nur an dem Imaginärteil interessiert sind, lassen wir alle Unterdeterminanten weg, die keine komplexen Zahlen enthalten. Übrig bleibt nur eine Determinante mit komplex-wertigem Vorfaktor.$$\phantom{=}\operatorname{Im}\left|\begin{array}{rrrrr}1 & -1 & 1 & \sqrt 2 & -2\\1 & 3 & -1 & 5 & 3\\-1 & -1 & 4 & -4 & 3\\\pi & \sqrt[3]{3} & -4 & 1+2i & 6\\-3 & 0 & -8 & 7 & -13\end{array}\right|$$$$=\operatorname{Im}\left((1+2i)\left|\begin{array}{rrrrr}1 & -1 & 1 & \cancel{\sqrt 2} & -2\\1 & 3 & -1 & \cancel 5 & 3\\-1 & -1 & 4 & \cancel{-4} & 3\\\cancel \pi & \cancel{\sqrt[3]{3}} & \cancel{-4} & \cancel{1+2i} & \cancel{6}\\-3 & 0 & -8 & \cancel{7} & -13\end{array}\right|\right)=2\left|\begin{array}{rrrr}1 & -1 & 1 & -2\\1 & 3 & -1 & 3\\-1 & -1 & 4 & 3\\-3 & 0 & -8 & -13\end{array}\right|$$
Wir subtrahieren Zeile 1 von Zeile 2, addieren Zeile 1 zu Zeile 3 und addieren das 3-fache von Zeile 1 zu Zeile 3:$$=2\left|\begin{array}{rrrr}1 & -1 & 1 & -2\\0 & 4 & -2 & 5\\0 & -2 & 5 & 1\\0 & -3 & -5 & -19\end{array}\right|=2\left|\begin{array}{rrrr}\cancel1 & \cancel{-1} & \cancel1 & \cancel{-2}\\\cancel0 & 4 & -2 & 5\\\cancel0 & -2 & 5 & 1\\\cancel0 & -3 & -5 & -19\end{array}\right|=2\left|\begin{array}{rrr}4 & -2 & 5\\-2 & 5 & 1\\-3 & -5 & -19\end{array}\right|$$
Wir addieren das 2-fache von Zeile 2 zu Zeile 1 und subtrahieren Zeile 3 von Zeile 2:$$=2\left|\begin{array}{rrr}0 & 8 & 7\\1 & 10 & 20\\-3 & -5 & -19\end{array}\right|$$
Wir addieren das 3-fache von Zeile 2 zu Zeile 3:$$=2\left|\begin{array}{rrr}0 & 8 & 7\\1 & 10 & 20\\0 & 25 & 41\end{array}\right|=-2\left|\begin{array}{rrr}\cancel0 & 8 & 7\\\cancel1 & \cancel{10} & \cancel{20}\\\cancel0 & 25 & 41\end{array}\right|=-2\left|\begin{array}{rrr}8 & 7\\25 & 41\end{array}\right|=-2(8\cdot41-25\cdot7)$$$$=-306$$
