Determinante bestimmen, komplexe Zahlen

Question

kann mir jemand bitte bei der folgenden Aufgabe helfen? Ich habe folgende Matrix und muss ihre Determinante ausrechen

z1	z1‾	a1	b1
z2	z2‾	a2	b2
z3	z3‾	a3	b3
z4	z4‾	a4	b4

Ich habe folgendes gegeben:

z=a+bi und z‾=a-bi

Ich kann von der ersten Spalte die zweite Spalze abziehen und habe für die erste Spalte in allen Einträgen 0. Wie muss ich dann weiter machen?

0	z1‾	a1	b1
0	z2‾	a2	b2
0	z3‾	a3	b3
0	z4‾	a4	b4

Kann ich Methode, die man bei einer Blockmatrix anwendet, anwenden?

Ich habe Oben links die Null also Matrix und den Teil die Matrix

z2‾	a2	b2
z3‾	a3	b3
z4‾	a4	b4

Hier kann ich ja den Sarrus anwenden, aber ich weiß ja, dass 0 mulitpliziert mit der 3×3Matrix 0 ergibt. Also habe ich ja ingesamt 0 raus für die Determinante oder ist das falsch?

Comments

>von der ersten Spalte die zweite Spalze abziehen < Kannst Du, aber wo kommt die 0 her?

(a+b i) - (a-b i) ==> 0

sollen die real und imaginär anteile wiederholt werden?

$\small \left(\begin{array}{rrrr}a1 + i \; b1&a1 - i \; b1&a1&b1\\a2 + i \; b2&a2 - i \; b2&a2&b2\\a3 + i \; b3&a3 - i \; b3&a3&b4\\a4 + i \; b4&a4 - i \; b4&a4&b4\\\end{array}\right)$

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Okay danke !

Answer 1

Aloha :)

Ich fürchte, du hast dich etwas verfummelt. Die zweite Spalte ist komplex konjugiert zur ersten Spalte. Wenn du die zweite Spalte von der ersten subtrahierst, ehälst du daher keine Nullspalte.

$$\left|\begin{array}{cccc}z_1 & z'_1 & a_1 & b_1\\z_2 & z'_2 & a_2 & b_2\\z_3 & z'_3 & a_3 & b_3\\z_4 & z'_4 & a_4 & b_4\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}a_1+ib_1 & a_1-ib_1 & a_1 & b_1\\a_2+ib_2 & a_2-ib_2 & a_2 & b_2\\a_3+ib_3 & a_3-ib_3 & a_3 & b_3\\a_4+ib_4 & a_4-ib_4 & a_4 & b_4\end{array}\right|$$

Jetzt subtrahieren wir die zweite Spalte von der ersten:$$=\left|\begin{array}{cccc}i2b_1 & a_1-ib_1 & a_1 & b_1\\i2b_2 & a_2-ib_2 & a_2 & b_2\\i2b_3 & a_3-ib_3 & a_3 & b_3\\i2b_4 & a_4-ib_4 & a_4 & b_4\end{array}\right|$$

Wie addieren die Hälfte der ersten Spalte zur zweiten Spalte:$$=\left|\begin{array}{cccc}i2b_1 & a_1 & a_1 & b_1\\i2b_2 & a_2 & a_2 & b_2\\i2b_3 & a_3 & a_3 & b_3\\i2b_4 & a_4 & a_4 & b_4\end{array}\right|=0$$

Da die Determinante zwei gleiche Spalten enthält, ist sie $=0$.

Comments

Achso okay, dankeschön! Dann habe ich verstanden.