Hi,
die Eigenwerte sind \( 0 , 3 \text { und } \alpha \). Ist \( \alpha \notin \{0,3\}\) dann hat man drei verschiedene Eigenwerte und die Matrix ist diagonalisierbar.
\( A_0 \) hat den einfachen Eigenwert \( 3 \) und den zweifachen Eigenwert \( 0 \). Zum EW \( 3 \) gibt es nur einen l.u. EV, z.B \( \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} \)
Zum EW \( 0 \) gibt es zwei l.u. EV. Also stimmen algebraische Vielfachheit und geometrische überein und somit ist \( A_0 \) diagonalisierbar.
\( A_3 \) hat die Eigenwerte \( 3 \) zweifach und \( 0 \) einfach. Zum Eigenwert \( 3 \) gibt es aber nur einen l.u. EV, also ist \( A_3 \) nicht diagonalisierbar.
Die Spalten der Transformationsmatrix für ( A_0 \) besteht aus den EV, z.B.
$$ \begin{pmatrix} 0 & 1&-4 \\ 0 & 0&1 \\ 1&0&0\end{pmatrix} $$
Damit ergibt sich eine Diagonalmatrix von $$ \begin{pmatrix} 0 & 0&0 \\ 0 & 3&0 \\ 0&0&0\end{pmatrix} $$ und es gilt $$ e^{A_0} = \begin{pmatrix} e^3 & 4e^3-4&0 \\ 0 & 1&0 \\ 0&0&1\end{pmatrix} $$
