Beweis zu Eigenvektoren und Eigenräumen

Question

Aufgabe:

Ist $v\in V$ Eigenvektor von $\varphi$ zum Eigenwert $\lambda$ , so ist $v$ auch Eigenvektor von

$\varphi^k$ zum Eigenvert $\lambda^k$.

Gilt stets $$V_{\varphi^{k}, \lambda^{k}}=V_{\varphi, \lambda}\;\text{?}$$

Problem/Ansatz:

Ich habe vorher gezeigt, dass wenn $\lambda$ Eigenwert des Endorphismus $\varphi$ ist

auch gelten muss, dass $\lambda^k$ Eigenwert des Endorphismus $\varphi^k$ sein muss.

Kann man das für die Bearbeitung der Aufgabe nutzen?

Answer 1

Gilt stets $$V_{\varphi^{k}, \lambda^{k}}=V_{\varphi, \lambda}\;\text{?}$$

Nein. Sei z.B. $V=R^2$  und $\varphi:V\rightarrow V$ der Endomorphismus,

dessen darstellende Matrix bzgl. der Standardbasis $e_1,e_2$

$\left(\begin{array}{cc}0&1\\0&0\end{array}\right)$ ist.

Dann ist $V_{\varphi^2,0^2}=R^2$, aber $V_{\varphi,0}=Re_1$.