sqrt(7-x^2)+1=x^2 nach x auflösen

Question

Kann mir jemand erklären wie man von sqrt(7-x^2)+1=x^2 gelöst auf sqrt(3) und -sqrt(3) kommt?

Answer 1

Jap :

Wurzel(7-x²)+1=x²

<=> Wurzel(7-x²)=x²-1   |^2

<=> 7-x^2 = (x^2-1) ^2

<=> 7-x^2 = x^4-2x^2+1

<=> 0 = x^4-x^2-6

Jetzt substituieren : y = x^2

<=> 0 = y^2-y-6 + (0,5^2-0,5^2)

<=> 0 = (y-0,5)^2 -6,25

<=> 6,25= (y-0,5)^2

<=> 2,5 = y-0,5 oder -2,5=y-0,5

<=> 3=y  oder -2 = y

Jetzt Rücksubstituieren:

Die zweite Lösung lassen wir weg, da du nur reelle Lösungen haben willst anscheinend:
y= x^2  ====> x= Wurzel(y)

Also :

x= Wurzel(3) oder x= -Wurzel(3)

Comments

danke :3
das Substituieren kenn ich noch gar nicht ... netter trick :D

Answer 2

Hi,

sqrt(7-x²)+1=x²  |-1

√(7-x^2) = x^2-1  |quadrieren

7-x^2 = (x^2-1)^2

7-x^2 = x^4-2x^2+1        |Alles nach rechts

x^4-x^2-6 = 0                  |Subst. x^2 = u

u^2-u-6 = 0                     |pq-Formel

u_(1) = -2 und u_(2) = 3

Aus u_(1) keine Resubst. da x^2 = -2 nicht zu lösen ist.

Aus u_(2) ergibt sich x^2 = 3 --> x_(1,2) = ±√3

Grüße