Diagonalisierbarer Endomorphismus mit Quadrat gleich Identität

Question

Ich komme mit der folgenden Aufgabe gar nicht klar und es wäre super lieb wenn mir jemand helfen könnte :)

Sei V ein n-dimensionaler Vektorraum über einem Körper K von Charakteristik p≠2. Wir bezeichnen mit ⟨x,h⟩=h(x) die Kanonische Paarung V x V* -> K. Sei a ∈ V ein Vektor und a^v  ∈ V* eine Linearform mit ⟨a,a^v ⟩=2. Wir bilden dazu den Endomorphismus s=s_a,a^v : V -> V, x ↦ x - ⟨x,a^v ⟩a

Zeigen Sie folgendes:

a) Es gilt s² = id_V, und der Endomorphismus s ist diagonalisierbar

b) Die Hyperebene Ker(a^v) ∈ V ist der Eigenraum zum Eigenwert λ=1, die Gerade Ka ∈ V ist der Eigenraum zum Eigenwert λ=-1

c) Jerder Endomorphismus f: V -> V mit f²=id_v bei dem der Eigenwert λ=-1 die algebraische Multiplizitä m=1 hat ist von der Form f=s_a,a^v

Vielen Dank schonmal :)

Answer 1

s^2 = id geht wohl so:   Sei x aus V, dann gilt
s ^2 (x) = s ( s(x) ) 
= s ( x  -  <x,a^v>*a ) nach Def. von s
= s ( x)   - s ( <x,a^v>*a ) )  weil s ein Endom.(additiv)
= s(x)  -   <x,a^v>*s(a )      weil s ein Endom.(homogen)
= x - < x, a^V >*a    -    <x,a^v> *   s(a )   Def. von s(x)
= x - < x, a^V >*a    -    <x,a^v> *   ( a - < a, a^V >*a     )       Def. von s(a)   
= x - a^V (x) *a     -    <x,a^v> *  a   +    <x,a^v> * < a, a^V > *a  
= x - a^V (x) *a     -    <x,a^v> *  a   +    <x,a^v> * 2 *a   

= x

Comments

Habe noch etwas zu dem Rest:

wegen a^V(a)=2 ist Bild a^V nicht nur 0, also, da in

K, 1-dimensional. und dim(V)=n also dim(Kern(a^V) = n-1

wegen a^V(a)=2 ist a nicht im Kern von a^V , also kann man

eine Basis von Kern(a^V) mit a zu einer Basis von V ergänzen.

Diese besteht nur aus Eigenvektoren von s, also ist s diag.

warum alles Eigenvektoren von s ?

s(a) = a - <a,a^V >*a = a - a^V (a) * a = a - 2*a = -1 * a also a Eigenvektor

zum Eigenwert -1 .

für v aus Kern  a^V  gilt a^V(v)=0 also < v,a^V > = 0 und damit

s(v)=  v - <v,a^V >*a = v - 0*a = v

zu b) Ist quasi schon gezeigt:

Die Hyperebene wird von den v's aus der Basis aufgespannt und

die Gerade wird durch die Vielfachen von a gebildet.