Hallo, aus dem Gegebenen kann man zunächst zwei Eigenschaften schließen, falls man annimmt, dass so ein \(A\) existiert:
\(A\cdot \begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix}\) wegen \(V_0(f)= \langle \begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix} \rangle\)und
\(A\cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2\\0\\0 \end{pmatrix}\) wegen \(V_2(f)= \langle \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} \rangle \)
Jetzt bastel ich einen weiteren Eigenraum von \(f\) hin: \(V_\lambda (f)=\langle \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix} \rangle\), wobei \(\lambda\neq 0,2\). Diese beiden Werte auszuschließen, macht die Sache etwas einfacher, da man somit \(A\) so bestimmen kann, sodass \(A\) diagonalisierbar ist. (Eigenwerte sind nämlich paarweise verschieden => Eigenräume eindimensional). Jetzt kannst du dir mal \(A\) allgemein aufstellen:
\(A=\begin{pmatrix} a&b&c\\d&e&f\\g&h&k \end{pmatrix}\). Nach Konstruktion gilt weiter
\(A\cdot \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} ax_1+bx_2+cx_3\\dx_1+ex_2+fx_3\\gx_1+hx_2+kx_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \lambda\cdot x_1\\\lambda\cdot x_2\\\lambda\cdot x_3 \end{pmatrix}\).
Von oben hat man weiter:
\(A\cdot \begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a+b\\d+e\\g+h \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix}\) sowie
\(A\cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a\\d\\g \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2\\0\\0 \end{pmatrix}\).
Somit musst du nur noch die Einträge \(a,b,c,d,e,f,g,h,k\) bestimmen. Dabei kannst du dir ja schöne konkrete Werte für \(\lambda, x_1,x_2,x_3\) hinwählen.
