Übungsaufgabe Induktion Kombinatorik

Question

Aufgabe:

Zeigen, dass für k≥0 gilt:

\( \sum\limits_{n=0}^{k}{x^k} \) = \( \frac{1-x^{k+1}}{1-x} \)

Folgern, dass daraus für |x|≤1 gilt:

\( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{x^k} \) = \( \frac{1}{1-x} \)

Problem/Ansatz:

Das war eine Aufgabe aus einer Abgabe, die ich nicht verstanden habe und keine Punkte bekommen habe. Wie muss man hier vorgehen? Ich weiß nie genau wie ich einen Beweis bzw. eine Induktion aufstellen muss, da ich mich immer vertue.

Answer 1

vgl.

https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Geometrische_Reihe

Comments

Vielen Dank!

Answer 2

Was hältst du gerade im ersten Teil von vollständiger Induktion?

Bekommst du den Induktionsanfang hin? Kannst du mal den Induktionsschritt probieren?

im Zweiten teil gilt doch sicher

lim (k → ∞) x^(k + 1) = 0 für |x| < 1 oder nicht?

Warum in der Aufgabe x ≤ 1 steht vermag ich momentan nicht zu sagen. Ich denke doch stark x darf nicht 1 sein oder doch?

Comments

Also ich weiß, dass man eigentlich so startet:

IA: n=0 und dann alle n‘s zu 0en werden, doch da sind ja keine n‘s, muss man hier dann die x‘s zu 0en machen?

Beim IS muss man dann sowas machen n -> n+1, aber hier weiß ich auch nicht mehr weiter.

Warum in der Aufgabe x ≤ 1 steht vermag ich momentan nicht zu sagen. Ich denke doch stark x darf nicht 1 sein oder doch?

Also in der Aufgabenstellung stand es so, aber kann auch ein Tippfehler gewesen sein.

---

Zeigen, dass für k≥0 gilt:

Hier sollst du es für alle k zeigen. Damit nimmt das k hier den Platz von n ein. Du zeigst es also zunächst für k = 0. Probierst du das bitte mal?

Also in der Aufgabenstellung stand es so, aber kann auch ein Tippfehler gewesen sein.

Ist das eine Aufgabe aus der Schule oder dem Studium? Im Studium sollten solche Fehler nicht auftreten.

Auch das in der Summe in der über alle n von 0 bis k summiert wird kein n auftaucht, sondern das k ist auch ein Fehler. Das hat also vermutlich jemand in geistiger Umnachtung geschrieben.

---

IA: k=0

\( \sum\limits_{n=0}^{0}{1-x^{0+1}/1-x} \)

= \( \sum\limits_{n=0}^{0}{1/0} \)

Also hier fängt dann meine Verwirrung schon an.. hab zwar alles eingesetzt, aber da würde jetzt -1 rauskommen und das wäre doch falsch oder nicht?

Ist das eine Aufgabe aus der Schule oder dem Studium? Im Studium sollten solche Fehler nicht auftreten.

Aus dem Studium und leider bin ich in dem Fach nicht so gut, daher habe ich die Fehler nicht bemerkt.