Ungleichung mit Fakultät zeigen mit vollständiger Induktion: n! ≤ (n/2)^n für n ≥ 6

Question

wie kann man mit vollständiger Induktion zeigen, dass n! =< (n/2)^n mit n >= 6 ?

Answer 1

Die Aussage gilt offenbar für \(n=6\).
Die Aussage gelte für ein \(n\ge6\). Zu zeigen ist, dass die Aussage auch für \(n+1\) gilt.

Bekanntlich ist \(\left(1+\frac1n\right)^n\ge2\) für alle \(n>0\).$$\Rightarrow(n+1)^n\ge2n^n$$$$\Rightarrow\left(\frac{n+1}2\right)^n\ge2\left(\frac n2\right)^n\ge2n!$$$$\Rightarrow\left(\frac{n+1}2\right)^{n+1}\ge\frac{n+1}2\cdot2n!=(n+1)!.$$