Vollständige Induktion: Ungleichung mit Fakultät 2^n ≤ (n+1)! zeigen

Question

Aufgabe: 2ⁿ ≤ (n+1)!

IA: 2⁰ ≤ (0+1)! ⇔ 1 ≤ 1

IS: 2ⁿ⁺¹ ≤ (n+2)!

⇔ 2 * 2ⁿ ≤ (n+2)!

⇔ 2 * (n+1)! ≤ (n+2)!

Wie geht es nun weiter?

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Answer 1

$$ 2^{n+1} = 2\cdot 2^n \le 2 \cdot (n+1)! \le (n+2)(n+1)!=(n+2)!$$

Erste Ungleichung folgt aus der IV, die zweite, da \( n\ge 0 \) und deshalb \( (n+2) \ge 2\)