Induktion über Ungleichung (Fakultät/Eulersche Zahl)

Question

Hallo ich habe folgende Aufgabe :

e*(n/e)ⁿ ≤ n!

bisher hab ich folgendes:

IA:

n=1

e*(1/e)^1 <=1!

1<=1

IV:

e*(n/e)ⁿ ≤ n! für alle n<=1

IS:

e*(n+1/e)^{n+1} <= (n+1)!

e*(n+1/e)^{n+1} <= n!*(n+1) = (n+1)!

IV eingesetzt

(n+1)*e*(n/e)^n <= n!(n+1)

Komme nun nicht weiter, wir sollen das Lemma :

"Für jede reelle Zahl x gilt : 1+x <= e^x " benutzen.

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Beweis mittels vollständiger Induktion: e·(n/e)^n ≤ n!

Stichworte: vollständige,induktion,beweis

kann mir bitte jemand beim beweis durch vollständige induktion helfen?

es soll für alle n >= 1 gelten;

vielen vielen dank!!

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IS:

e*((n+1)/e)ⁿ⁺¹ <= (n+1)!      Klammer !!!

e*((n+1)/e)ⁿ⁺¹ <= n!*(n+1) = (n+1)!

e * ( (n+1) / e )^n * (n+1) / e    <=  n!  *  (n+1)   |  :(n+1)

e * ( (n+1) / e )^n     / e    <=  n!         |    *e /e

( (n+1) / e )^n      <=  n!   

Jetzt kann man die IV immer noch nicht einsetzen, wegen des (n+1)  ?????

Answer 1

Man braucht nur   e ≥ (1 + 1/n)ⁿ  und schließt folgendermaßen :
e·( (n+1)/e )ⁿ⁺¹  = ( (n+1)ⁿ / eⁿ )·(n+1)   =  ( n/e )ⁿ · ( (n+1)/n )ⁿ · (n+1) 
  ≤  (n/e)ⁿ  ·e· (n+1)  ≤  n! · (n+1) = (n+1)!