Fakultät. ( 2n über n) > 4^n / (2n+1) mit vollständiger Induktion beweisen

Question

Hallo liebe Community.

Ich soll in der Aufgabe die oben genannte Ungleichung mit Vollständiger Induktion beweisen.

Für n=1 da nur alle natürlichen Zahlen gefragt sind habe ich das auch schon hinbekommen, jedoch verstehe ich nicht wie man im Induktionsschritt vorgeht. Ich habe für jedes n = n+1 eingesetzt doch welchen Term muss nich nun wo einsetzten ? Im Anhang mal ein Foto von meinem bisherigen Stand.

Ich hoffe ihr könnt mir helfen!

LG equinox

Answer 1

(1) Vorbemerkung$$\binom{2(n+1)}{n+1}=\binom{2n+2}{n+1}=\frac{(2n+2)!}{\big((n+1)!\big)^2}$$$$=\frac{(2n)!\cdot(2n+1)\cdot(2n+2)}{\big(n!\cdot(n+1)\big)^2}=\frac{(2n)!}{(n!)^2}\cdot\frac{(2n+1)\cdot2\cdot(n+1)}{(n+1)^2}$$$$=2\cdot\binom{2n}n\cdot\frac{2n+1}{n+1}.$$(2) Induktionsschritt$$\binom{2(n+1)}{n+1}=2\cdot\binom{2n}n\cdot\frac{2n+1}{n+1}\overset{\small{\text{IV}}}>2\cdot\frac{4^n}{2n+1}\cdot\frac{2n+1}{n+1}$$$$=\frac{2\cdot4^n}{n+1}=\frac{4\cdot4^n}{2(n+1)}>\frac{4^{n+1}}{2n+3}.$$Gruß

Comments

Welcher normale Mensch der kein Genie ist kommt denn bitte darauf das dort eine Quadrat ergänzt werden kann, und wieso steht dann bei der Vorbemerkung auf einmal ein 2n! alleine davor? und plötzlich steht unten auch ein n! davor..