Induktion: Ungleichung n! größer gleich n^3-2n^2 beweisen

Question

folgende Aufgabe muss ich lösen.

Nun habe ich folgenden Ansatz aufgeschrieben, weiß aber nicht, ob das richtig ist.

Vielleicht kann mir ja jemand helfen, bei Fehlern eventuell entsprechende Lösung aufschreiben.

Comments

Leider kann ich deine Umformung nicht wirklich lesen.

Wo genau hast du die Abschätzung im HInweis eingebaut?

Schau mal bei den ähnlichen Fragen.

Answer 1

Zu zeigen

n! ≥ n^3 - 2·n^2

Induktionsanfang n = 1, 2, 5

n = 1

1! ≥ 1^3 - 2·1^2 = -1 --> wahr

n = 2

2! ≥ 2^3 - 2·2^2 = 0 --> wahr

n = 5

5! ≥ 5^3 - 2·5^2 = 75 --> wahr

Induktionsschritt n --> n + 1

(n + 1)! ≥ (n + 1)^3 - 2·(n + 1)^2

(n + 1)·n! ≥ (n + 1)^3 - 2·(n + 1)^2

n! ≥ (n + 1)^2 - 2·(n + 1)^1

n! ≥ n^2 - 1

n^3 - 2·n^2 ≥ n^2 - 1

n^3 - 3·n^2 + 1 ≥ 0

n^3 - 3·n^2 ≥ 0

n^2·(n - 3) ≥ 0 --> wahr