Vollständige Induktion. Zeibe die Ungleichung mit Fakultäten (2n)!> (n!)^2 n>=1

Question

Halle, die Frage wäre, ob man den Induktionsschritt so machen könnte?

Ich überspringe mal die Formellen Sachen!

IV: (2n)!> (n!)^2

IS: n->n+1 : (2(n+1))!> ((n+1)!)^2

Also

(2(n+1))! = (2n+2)! = (2n)! * (n+1) * (n+2) > (n!)^2 * (2n+1) * (2n+2)

               =  (n!)^2 * (4n^2+6n+2) > (n!)^2 * (n^2+6n+2) > (n!)^2 * (n^2+2n+2) > (n!)^2 * (n^2+2n+1)

              =  (n!)^2 * (n+1)^2 = ((n+1)!)^2

Kann man das so machen der geht es besser?

Ich habe extreme Probleme mit dem Abschätzen, weiß nie wie ich dies am beste mache und vor allem was gewollt und erwünscht ist.

P.S. Ich hoffe es hat sich kein Zahlendreher eingeschlichen:)

Comments

Du kannst beim Abschaetzen machen, was Du willst. Hauptsache, es ist richtig. Wenn die Abschaetzung dann auch noch zielfuehrend ist, kann man sie sogar gebrauchen.

Wofuer ist der laengliche Mittelteil? Man sieht doch sofort, dass \(2n+1>n+1\) und \(2n+2>n+1\) ist. Genau das will man doch haben.

Answer 1

Hallo Lumpi,

bis auf den Tippfehler (die 2 vergessen!) in der ersten Zeile ist das richtig. Ja - das kann man so machen. Ich würde es etwas vereinfachen. Z.B. brauchst Du nie die Produkte ausmultiplizieren.

Vorschlag:  $$\begin{aligned} (2(n+1))! &= (2n+2)! \quad &(1)\\&= (2n)! \cdot (2n+1) \cdot (2n+2) &(2)\\&> (n!)^2 \cdot (2n+1) \cdot (2n+2) &(3)\\&> (n!)^2 \cdot (n+1) \cdot (n+1) &(4) \\ &= ((n+1)!)^2 &(5)\end{aligned}$$ wobei man die Zeile (3) auch weglassen könnte.

Ein Produkt mit positiven Faktoren ist immer kleiner als das selbe Produkt, wenn man einen oder mehrere Faktoren des ersteren verkleinert.

Gruß Werner