Vollständige Induktion: Ungleichung mit Summe von Fakultäten 1 . 1! + 2 . 2!+...+n.n!< (n+1)!, n€ N

Question

Aufgabe:

… Beweisen Sie zunächst mittels vollständiger Induktion

1 . 1! + 2 . 2!+...+n.n!< (n+1)!, n€ N
Problem/Ansatz:

kann mir bitte jemand dabei helfen vielen Dank

Answer 1

Zu zeigen:

1·1! + 2·2! + 3·3! + ... + n·n! < (n + 1)!

Induktionsanfang: n = 1

1·1! < (1 + 1)!
1 < 2
wahr

Induktionsschritt: n → n + 1

1·1! + 2·2! + 3·3! + ... + n·n! + (n + 1)·(n + 1)! < ((n + 1) + 1)!
(n + 1)! + (n + 1)·(n + 1)! ≤ (n + 2)!
(n + 1)!·(1 + (n + 1)) ≤ (n + 2)!
(n + 1)!·(n + 2) ≤ (n + 2)!
(n + 2)! ≤ (n + 2)!
wahr

Comments

Du kannst auch folgende ähnliche Aussage beweisen:

Zu zeigen:

1·1! + 2·2! + 3·3! + ... + n·n! = (n + 1)! - 1

Induktionsanfang: n = 1

1·1! = (1 + 1)! - 1
1 = 1
wahr

Induktionsschritt: n → n + 1

1·1! + 2·2! + 3·3! + ... + n·n! + (n + 1)·(n + 1)! = ((n + 1) + 1)! - 1
(n + 1)! - 1 + (n + 1)·(n + 1)! = (n + 2)! - 1
(n + 1)! + (n + 1)·(n + 1)! = (n + 2)!
(n + 1)!·(1 + (n + 1)) = (n + 2)!
(n + 1)!·(n + 2) = (n + 2)!
(n + 2)! = (n + 2)!
wahr