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Sei K ein Körper und U ⊂ Kn ein Untervektorraum. Zeige, dass es
einen Endomorphismus f : Kn → Kn mit      U = Ker(f) gibt.

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Sei U ein UVR des Kn und \( (u_1,...,u_n)\) eine Basis von U. Der Basisergänzungssatz sagt, es existiert dann eine Basis \(B=(u_1,...,u_n,v_1,...,v_m)\) von V.

Wir definieren f jetzt einfach über eine Darstellungsmartrix:

$$ M^B_B (f) := \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0& E_m\end{pmatrix} $$

mit der mxm Einheitsmatrix \( E_m \)

Der Darstellungssatz sagt nun

$$ f = \Phi_B \circ \widetilde{M^B_B (f)} \circ \Phi_B^{-1} $$

f ist als Komposition linearer Abbildung eine lineare Abbildung. Jetzt muss man nur noch \( \ker f = U \) nachrechnen, aber das ist trivial.

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U hat eine Basis B.

B kann zu einer Basis B' von Kn ergänzt werden.

f bilde die Elemente von B auf 0 ab und die Elemente von B'\B auf sich selbst ab.

Dann ist Ker(f) = U.

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