Sei U ein UVR des Kn und \( (u_1,...,u_n)\) eine Basis von U. Der Basisergänzungssatz sagt, es existiert dann eine Basis \(B=(u_1,...,u_n,v_1,...,v_m)\) von V.
Wir definieren f jetzt einfach über eine Darstellungsmartrix:
$$ M^B_B (f) := \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0& E_m\end{pmatrix} $$
mit der mxm Einheitsmatrix \( E_m \)
Der Darstellungssatz sagt nun
$$ f = \Phi_B \circ \widetilde{M^B_B (f)} \circ \Phi_B^{-1} $$
f ist als Komposition linearer Abbildung eine lineare Abbildung. Jetzt muss man nur noch \( \ker f = U \) nachrechnen, aber das ist trivial.