Es gibt genau dann einen idempotenten Endomorphismus mit Ker(f)=U und Bild(f)=V wenn k ≠

Question

Betrachten Sie die R- Untervektorräume V,W von R³ gegeben durch U =[{(1,1,-2), (-1,3,-2)}] und V=[{(1,0,k)}], wobei k eine bliebige ganze Zahl ist. Es gibt genau dann einen idempotenten Endomorphismus f: R³-->R³ mit Ker(f)=U und Bild(f)=V wenn k ≠

Kann mir jemand sagen, wie ich das berechnen kann? Ich weiß es leider nicht.

Comments

Also meine Idee ist dass k ≠ -1 sein muss, weiß aber nicht ob das so stimmt

Answer 1

Für k ≠ -1 ist B := {(1,1,-2), (-1,3,-2), (1,0,k)} linear unabhängig, also eine Basis von ℝ³.

Sei φ: ℝ³→ℝ³ der Endomorphismus mit φ((1,1,-2)) = φ((-1,3,-2)) = 0 und φ((1,0,k)) = (1,0,k).

Sei v∈U. Dann ist φ(v) = 0 wegen U = Kern(φ). Somit ist ist φ(φ(v)) = 0,

Sei v∉U. Dann ist φ(v) = r·(1,0,k) für ein r ∈ ℝ, wegen V = Bild(φ). Also ist φ(φ(v)) = φ(r·(1,0,k)) = r·φ((1,0,k)) = r·(1,0,k) = φ(v).

Ist andererseits k = -1, dann ist V⊆U=Kern(φ) und somit Bild(φ•φ) = {0} ≠ Bild(φ).