Beweisen Sie: es gibt genau einen Endomorphismus des Quotienten mit...

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie:

Es sei \( φ \) ein Endomorphismus vom Vektorraum \( V \) . Ist \( U \subseteq V \) ein \( φ \) - invarianter Untervektorraum, so gibt es genau einen Endomorphismus \( ψ \) des Quotienten \( V/U \) mit \( ψ(v + U) = φ(v) + U \).

Problem/Ansatz:

Da \( U \) \( φ \)-invariant ist, gilt \( φ(U) \subseteq U \). Wie kann ich das nutzen um zu zeigen, dass es genau einen Endomorphismus mit der geforderten Eigenschaft gibt?

Answer 1

Das erste Problem ist doch wohl zu zeigen, dass durch die Vorgabe

\( ψ(v + U) = φ(v) + U \).

eine Abbildung wohldefiniert ist. Hier braucht man die Tatsache,

dass U ein φ-invarianter Unterraum ist.

Denn für ein Element x aus V/U ist die Darstellung x=v+U ja nicht eindeutig.

Sind also x=v+U und x=w+U zwei Darstellungen, dann gilt v-w∈U und

wegen der Invarianz also auch        φ(v-w) ∈U.

Da   φ ein Endomorphismus ist folgt φ(v)- φ(w) ∈U.
        ==>   ( φ(v)- φ(w) )  + U = U = 0    ( in V/U )

  ==>    φ(v) + U  =   φ(w)  + U.

Also ist durch \( ψ(v + U) = φ(v) + U \) eindeutig eine

Abbildung ψ von V/U nach V/U definiert.

Dass es ein Homomorphismus ist, kannst du leicht nachrechnen.

  
  

Comments

Wie meinst du damit, dass die Darstellung x = v + U von x in V/U nicht eindeutig ist, wenn aber U = 0 in V/U ist?

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Hier stimmt was nicht: Du benutzt Elemente von U in V/U.

Bist du sicher, dass ψ von V/U nach V/U abbildet, wenn φ ein Endomorphismus von V ist?