Suche Beispiel für einen Endomorphismus

Question

Aufgabe:

Hallo, ich suche zwei Endomorphismen, f und g ∈End(V) für V als K-VR, der Dimension ≥1.

Für diese zwei Abbildungen muss gelten, dass deren Kern und Bild gleich sind, aber f ungleich g ist.

Problem/Ansatz:

Ich habe mir überlegt, wenn Kern und Bild der Abbildungen gleich sein sollen, ist doch deren Darstellungsmatrix auch gleich? Dann habe ich mir eine 2×2 Matrix (ℝ) mit verschiedenen Einträgen angeschaut und mithilfe zwei verschiedener Basen der ℝ² versucht Abbildungsvorschriften für die Funktionen zu erhalten. Nur geht das nicht.

Hat jemand eine Idee, wie man dieses Beispiel lösen könnte? Wie könnte ich überhaupt absolute Aufgaben herangehen?

Comments

dass deren Kern und Bild gleich sind

Meinst du \(\operatorname{Kern}f = \operatorname{Bild}f\) und \(\operatorname{Kern}g = \operatorname{Bild}g\)?

Oder meinst du \(\operatorname{Kern}f = \operatorname{Kern}g\) und \(\operatorname{Bild}f = \operatorname{Bild}g\)?

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Das letztere:)

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Die Abbildungen aus meiner Antwort bewerkstelligen beides.

Answer 1

\(f,g:\,\mathbb{R}^4\to \mathbb{R}^4\).

Standardbasisvektoren \(e_1\), \(e_2\), \(e_3\), \(e_4\).

\(f(e_1) = 0\), \(f(e_2) = 0\), \(f(e_3) = e_1\), \(f(e_4) = e_2\).

\(g(e_1) = 0\), \(g(e_2) = 0\), \(g(e_3) = e_2\), \(g(e_4) = e_1\).

Comments

Danke!

Ich habe ganz vergessen, dass man ja die Zeilen vertauschen kann, sodass Bild und Kern trotzdem noch gleich sind.

Hast du einen Tipp, wie man an solche Aufgaben ran gehen kann? Sowas kommt bei uns in der Klausur dran und ich finde das ziemlich schwierig…

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Jede lineare Abbildung ist eindeutig durch die Bilder der Basisvektoren bestimmt.

Der Rest ist rumspielen. Es ist in der Mathematik üblich, dass es nicht für jede Aufgabe ein Standardverfahren zur Lösung gibt.

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Dankeschön! :)