Wie kann ich zeigen, dass für einen Endomorphismus mit f^2=0 gilt: Bild(f)=Kern(f)?

Question

Hallo ihr lieben,

Ich soll folgende Aufgabe lösen:

Sei V ein 2-dimensionaler Vektorraum. Sei f ein Endomorphismus mit f^2=0.

Ich möchte nun zeigen, dass  Bild(f) = Kern(f)

Wie kann ich da vorgehen?

,

Luisa

Comments

Gar nicht. Gegenbeispiel: \( f = 0 \) ist Endomorphismus mit \( f^2 = 0 \) aber \( \dim \operatorname{ker} f = 2 \neq 0 = \dim \operatorname{im} f \)

Answer 1

Naja, der/die Fragesteller(in) hat vergessen, \(f\neq 0\) vorauszusetzen.

Sei nun also \(f\neq 0\), dann gilt \(\dim(Kern(f))\leq1\).

Ferner gilt wegen \(f^2=0\): Bild\((f)\subseteq \)Kern\((f)\). Da das Bild

nicht der Nullraum ist, gilt \(\dim(Bild(f))\geq 1\) , somit

\(\dim(Kern(f))=1=\dim(Bild(f))\). Wenn ein Unterraum die gleiche

Dimension seines Oberraumes hat, sind die beiden gleich.