Wie zeigen dass in Vektorraum mit Endomorphismus phi gilt : Kern(phi) n Bild(phi) = {0}.

Question

Brauche etwas Hilfe bei dieser Aufgabe .

Answer 1

mit f statt Φ   Kern(f) und Bild(f) sind Unterräume von V, enthalten also beide die 0,

damit ist {0} Teilmenge vom Durchschnitt.

Ist umgekehrt x aus dem Durchschnitt, also p(x) = 0 (weil x aus Kern)

und es gibt y aus V mit p(y) = x weil x aus Bild

und wegen fof=f ist  p(p(y)) = p(y)  also

x = p(y) = p(p(y)) = p(x)  = 0 da x aus Kern(f)

offenbar ist immer u = u - f(u)  + f(u)

und f(u) ist aus Bild(f) und  u-f(u) ist aus

dem Kern, weil  f (   u-f(u)) = f(u) - f ( f ( u )) (linearität)

= f(u) - f(u)    wegen fof=f

= 0

Comments

im 2. Teil fehlt noch die Eindeutigkeit. Seien

also v+w und v' + w' zwei Darstellungen, also

v+w = v' + w'

v - v '   =  w ' - w

und links steht eine Summe in Kern f also ist v - v ' in Kern f

und das rechte in Bild f , also beides = 0, wegen

Teil a). und damit v = v '   und    w ' = w.

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Und jetzt mit G statt  Φ .   Und f aus C(IR).

G(G(f))(x) =  G(   0,5 * (f(x) + f(- x) )  )
                =    0,5 * (  0,5 * (f(x) + f(- x) )  +  0,5 * (f(- x) + f(- (- x)) )
               =   
               = 0,25 (   f(x)  +  f(- x)     +  f(- x)  + f(  x)   )
                G(f(x) )
Linearität von G nachweisen mit G ( f+h )  = G(f) + G(h)
und  G ( a*f ) = a * G/f) .

wegen G(e^x) = 0,5 ( e^x + e-x ) = cosh(x)
und e^x - cosh(x)  = sinh(x)
ist die gesuchte Summe    e^x = sinh(x)  + cosh(x)